- •1. Свойства сходящихся числовых рядов
- •2. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости
- •3. Признаки сравнения числовых рядов
- •5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Маклорена)
- •4.Признак Коши и Даламбера
- •7. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
- •6. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •8. Признак Дирихле-Абеля
- •9. Перестановка членов сходящихся рядов.
- •12.Признаки Вейерштрасса и Дирихле
- •1) Теорема (достаточное условие равномерной сходимости функциональных рядов (Вейерштрасса)):
- •13. Непрерывность суммы рсфр
- •15. Почленное дифференцирование рсфр
- •14. Почленное интегрирование рсфр
- •16.Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условия.
- •17.Кривые и области комплексной плоскости. Основные определения.
- •20.Основные элементарные фкп
- •21.Дифференцирование фкп. Условия Коши-Римана.
- •22.Условия Коши-Римана в полярных кординатах.
- •23.Теорема о сопряженной гармонической функции.
- •24.Геометрический смысл производной гармонической функции.
- •25.Общие свойства конформных отображений.
- •26. Круговое свойство дробно-линейной функции.
- •27. Принцип сохранения симметрии при дробно-линейном отображении.
- •28. Конформное отображение дробно-линейной функцией:
- •29. Конформные отображения элементарными функциями (z2,zn, √z, n√ z).
- •37.Теорема Морера.
- •38.Принцип максимума модуля.
- •39.Теорема Лиувилля.
- •40.Основная теорема алгебры
- •41.Равномерная сходимость рядов фкп.
- •42.Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов фкп.
- •43. Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов фкп.
- •46. Теорема Абеля.
- •47.Круг и радиус сходимости степенного ряда.
- •48.Теорема Тейлора.
- •49. Теоремы о нулях аналитической функции.
- •I. Теорема о нулях аналитической функции.
- •53.Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки.
- •54.Ряд Лорана в окрестности полюса.
- •55.Теорема Сохоцкого.
- •56. Вычисление вычетов аналитической функции.
- •57. Основная теорема теории вычетов.
- •58. Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов.
- •59. Теорема единственности.
- •60.Аналитическое продолжение г-функции.
1. Свойства сходящихся числовых рядов
1°. Пусть ряд сходится и Тогда для любого ( = const) сходится ряд и имеет сумму . {Пусть . , }.
2°. Если сходятся ряды и , то сходится ряд и имеет сумму A+B.
{Пусть . => }.
3°. Если , то для любых чисел и .{Следует из 1° и 2°}
4°. Если сходится ряд , то сходится и любой его остаток. Если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
{Обозначим m-ый остаток ряда , его p-ую частичную сумму . Пусть . ; (*) Зафиксируем , а устремим к бесконечности. Тогда . и остаток ряда сходится.
Если же известно, что сходится остаток ряда , то из (*) следует: и ряд сходится.
Обозначим . Тогда из (*) следует: (**) или .}
Выводы: 1. Переходя в (**) к пределу при , получаем 2.Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда (в смысле его сходимости или расходимости).
2. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости
Теорема (критерий Коши): Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы и выполнялось бы: . {Сходимость числового ряда определяется сходимостью числовой последовательности { }. Ранее доказано: для того чтобы последовательность { } сходилась, необходимо и достаточно, чтобы и выполнялось бы: или .}
Теорема (необходимое условие сходимости) : . Переходя к пределу при , получим: . Тот же результат можно получить из критерия Коши, полагая p = 1. Очевидно, условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости числового ряда. (НО : Ряд расходится , однако )
3. Признаки сравнения числовых рядов
Теорема 1 (признак сравнения): Пусть даны два ряда: (1) и (2). Если, начиная с некоторого номера выполняется: (3), , то из сходимости ряда (2) сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) расходимость ряда (2).
{Не ограничивая общности, будем считать, что неравенство выполняется для всех n . Пусть . Очевидно, последовательности { } и { } – монотонные неубывающие. Пусть ряд (2) сходится. Тогда { } ограничена: . Но тогда, в силу (3), и ряд (1) – также сходится.
Пусть ряд (1) расходится. Если бы ряд (2) сходился, то, по доказанному выше, сходился бы и ряд (1). Т.е. получили бы противоречие. Таким образом, ряд (2) также расходится.}
Теорема 2 (признак сравнения в предельной форме): Пусть Если существует то ряды (1) и (2) сходятся либо расходятся одновременно. { Пусть ряд (2) сходится. Из существования : , откуда получаем: или следует сходимость ряда (1). Пусть ряд (2) расходится. Существует , откуда аналогичным образом получаем: . Если бы сходился ряд (1), а вместе с ним и ряд , то по теореме 1 сходился бы и ряд (2). А это не так. Значит, ряд (1) также расходится.}
. Так как , а ряд - расходится ( то расходится и ряд .
5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Маклорена)
Теорема (Коши - Маклорена): Пусть функция у = f(x) определена при х≥1, неотрицательна и монотонно убывает на ∞). Тогда ряд , где сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл (2)
[Так как f(x) монотонна на ∞) , то она интегрируема по Риману на любом отрезке [1, ], поэтому имеет смысл . Так как f(x)-убывает на ∞), то для f(k+1) . Проинтегрируем последнее неравенство по отрезку : , k=1,2,3.4...
Просуммируем по к:
Обозначим , Тогда
Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Последовательность монотонна ( ) и ограничена. Тогда ограничена и последовательность . А поскольку она монотонно возрастает, то является сходящейся.
Пусть сходится ряд (1). Покажем, что сходится несобственный интеграл (2). Последовательность – монотонная, сходящаяся последовательность, следовательно, ограничена.
Тогда из (3) следует ограниченность возрастающей последовательности , а следовательно, её сходимость. То есть существует конечный ; интеграл (2) сходится. }
Пример : , s>0, Рассмотрим f(x)= на [1, );
Значит, ряд сходится при s >1 и расходится при s