17. Геометрический смысл основного закона гидростатики

Гидростатика — это раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкости и применение этих законов для решения практических задач. Основное уравнение гидростатики служит для определения величины гидростатического давления в любой точке покоящейся жидкости .                                                                                                         

В геометрической интерпретации константу обозначают буквой H и называют гидростатическим напором, а саму формулу записывают в виде:

Слагаемые основного закона гидростатики в этом случае называют:

В любой точки жидкости, находящейся в равновесии, гидростатический напор будет одинаков. Пьезометрический напор отличается от гидростатического на величину соответствующую атмосферному давлению. Отложив от плоскости сравнения по вертикали отрезки z + P/ ρg получим горизонтальную плоскость, которая называется плоскостью гидростатического напора. Соответственно, плоскость z + P/ρ g – пьезометрическая плоскость.

Если давление на свободной поверхности равно атмосферному, то пьезометрическая плоскость будет совпадать со свободной плоскостью.

18. Метод Лагранжа изучения движения жидкости

Для удобства исследования любой жидкости объем можно представить состоящим из большого числа жидких частиц. В соответствии с этим к исследованию движения жидкой частицы возможен такой же подход, как и к исследованию движения точки в механике. При этом частицу отождествляют с материальной точкой, рассматриваемой в теоретической механике.

Такой подход получил название метода Лагранжа.

В начальный момент времени выделим в жидкости фиксированную частицу с координатами x₀, y₀, z₀. Движение этой частицы известно, если известны законы изменения координат, характеризующих положение частицы с течением времени:

(1)

Исключая из этих уравнений время t, получим уравнение траектории, т.е. след движения частицы в пространстве. Переменные x₀, y₀, z₀ и t называют переменными Лагранжа.

Проекции скоростей частиц жидкости определяются зависимостями: , где - рассматриваются как параметры.

Для описания движения жидкого объема, содержащего N частиц, следует задать соответствующее число систем уравнений типа (1), что создает большие математические трудности.

В чистом виде метод Лагранжа используется редко. Он позволяет проследить за движением любой фиксированной частицы, однако это излишне, поскольку все частицы практически одинаковы. Метод Лагранжа находит применение при решении ряда специальных задач, например волновых движений

19. Метод Эйлера изучения движения жидкости

Широкое применение для исследования получил метод Эйлера. По этому методу рассматривают поле скоростей в точках пространства, занятого движущейся жидкостью, и исследуют характер изменения скорости в этих точках в зависимости от времени. Под скоростью в точке пространства понимают скорость жидкой частицы, которая в данный момент времени находится в этой точке. Под полем скоростей понимают некоторую дос­таточно большую совокупность точек бесконечного пространства занятого движущейся жидкостью, когда в каждой точке пространства в каждый момент времени находится час­тица жидкости с определённой скоростью (вектором скорости).

Поле скоростей по этому методу создается в виде: или ,

где - координаты точки пространства, а не жидкой частицы.

Скорость u называется мгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет собой векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей может изменяться во времени и по координатам. Переменные x, y, z, t называют переменными Эйлера.

Как известно, чтобы задать движение твердого тела, необходимо знать скорости трех его точек (не лежащих на одной прямой). Если же нужно задать движение жидкости, т.е. тела легко деформируемого, требуется знать скорость во всех точках занимаемого пространства. Число этих точек в пределе стремиться к бесконечности.

Метод Эйлера проще метода Лагранжа, так как в нем используется хорошо разработанный математический аппарат теории поля. Применяя метод Эйлера, который не позволяет учесть индивидуальность каждой частицы, следят за поведением различных частиц, проходящих через фиксированную точку пространства.