Оглавление

1. Комплексные числа: определение, алгебраическая форма записи, деление. 2

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Комплексное сопряжение и его свойства. 3

3. Полярные координаты на плоскости. Тригонометрическая форма записи кч. 4

4. Свойства модуля и аргумента кч. Ф-лы Муавра. 5

5. Ф-ла Эйлера. Показательная форма записи кч. 6

6. Тригонометрические и гиперболические ф-ции комплексного аргумента. 7

7. Матрицы. Различные виды матриц. 8

8. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. 10

9. Линейное пространство. Примеры линейных пространств. 11

10. Линейная зависимость и независимость векторов. 12

11. Размерность линейного пространства. Базис, координаты. 13

12. Определители второго порядка. 14

13. Общее определение определителя. Определители третьего порядка. 15

16. Разложение определителя по строке (столбцу). 15

14. Общие свойства определителя. 17

15. Вычисления определителя методом Гаусса. Определитель диагональной и треугольной матриц. 18

17. Ф-лы Крамера. 19

18. Проекции геометрического вектора на ось и компонента на оси, их свойства. 20

19. Линейность скалярного произведения и его координатное представление. Угол между векторами. 21

20. Векторное произведение и его основные свойства. 22

21. Координатное представление векторного произведения. 22

23. Линейность векторного произведения. 22

22. Смешанное произведение векторов и его свойства. 23

24. Двойное векторное произведение. 24

25. Плоскость в пространстве (основные виды уравнений). 25

26. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 26

27. Уравнения прямой в пространстве. 27

28. Эллипс и его уравнение в полярных координатах. 28

29. Гипербола и её уравнение в полярных координатах. 29

30. Парабола и её уравнение в полярных координатах. 30

31. Преобразования координат на плоскости: сдвиг, отражение, поворот. 31

32. Приведение уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду. 32

33. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, конус. 33

34. Поверхности 2-го порядка: параболоиды, цилиндры. 34

35. Умножения матриц и его свойства. 35

36. Обратная матрица: определение и основные свойства. 36

37. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. 37

38. Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса. 38

39. Линейное пространство многочленов. Определитель Вандермонда. 39

40. Деление многочленов. Теорема Безу. 40

41. Кратность корня многочлена: определение, нахождение через производные. 41

42. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители (в тч на вещественные). 42

43. Разложение рациональной дроби на простейшие. 43

44. Собственные числа и собственные вектора матрицы. 44

45. Собственные подпространства. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного числа. 45

46. Преобразование подобия. Диагонализация матрицы. 46

1. Комплексные числа: определение, алгебраическая форма записи, деление.

Определение: Формально, комплексное число z - это упорядоченная пара вещественных чисел (x, y) с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения: (х, у)+(х’, у’)=(х+х’, у+у’); (х, у)*(х’, у’)=(хх’-уу’, ху’+ух’). Вещественные числа представлены в этой модели парами вида (х, 0), причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой i=(0, 1).

Алгебраическая форма: z=a+bi, i^2=(-1), где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re(z); bi - мнимая часть: b = Im(z); числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось;

Действия над комплексными числами: если z1=a+bi, z2=c+di, то:

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; z1=z2 <=> a=c, b=d; z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2); i^4k=1, i^(4k+1)=i, i^(4k+2)=-1, i^(4k+3)=-i.

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Комплексное сопряжение и его свойства.

Геометрическая интерпретация: рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy. Каждому комплексному числу z=a+bi можно сопоставить точку с координатами (a, b), и наоборот, каждой точке с координатами (c, d) можно сопоставить комплексное число w=c+di. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Модуль: пусть комплексное число z=a+bi изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z|. Очевидно, что |z|=(a^2+b^2)^(1/2). Угол, образованный радиус-вектором числа z с осью Ox, называется аргументом числа z и обозначается arg(z). Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2П. Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до 2П или в диапазоне от –П до П. Кроме того у числа z=0 аргумент не определен. Arg(z) равен углу f. Из того же рисунка очевидно, что tg(f)=b/a. С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа: arg(z)=arctg(b/a) или arg(z)=П+arctg(b/a), причем первая формула действует, если изображение числа z находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если во второй или третьей. Если a=0, то комплексное число изображается вектором на оси Oy и его аргумент равен П/2 или 3П/2. Получим еще одну полезную формулу: пусть z=a+bi. Тогда _z=a-bi; z*(_z)=(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2. С учетом формулы получим z*(_z)=|z|^2 или |z|=(z*(_z))^(1/2).

Комплексное сопряжение: если комплексное число z=x+iy, то число _z=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z.

3. Полярные координаты на плоскости. Тригонометрическая форма записи кч.

Полярные координаты на плоскости:

Тригонометрическая форма записи: Пусть z=a+bi. Положим r=|z|, f=arg(z). Очевидно, что a=r*cos(f), b=r*sin(f). Тогда z=r*cos(f)+(r*sin(f))*i. Это выражение запишем в виде z=r*(cos(f)+i*sin(f)). Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде a+bi называют иногда алгебраической формой комплексного числа. Отметим, что тригонометрическая форма - это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Замечание: При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения cos(f) и sin(f), иначе мы потеряем явное указание аргумента z и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол f получился отрицательным, то знак "-" НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.