- •Основные понятия
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов и его свойства
- •Краткий конспект лекции 13
- •Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
- •5.3. Сопряженный оператор
- •5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
- •5.3.2. Самосопряженный оператор
- •5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
- •5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Свойства бесконечно малых
- •Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
- •Сравнение бесконечно малых функций.
- •Эквивалентные величины Определение
- •Теорема
- •Локальные экстремумы
Эквивалентные величины Определение
Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ( ).
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.
При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):
, где a > 0;
, где a > 0;
, поэтому используют выражение:
, где .
Теорема
Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.
Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).
#35
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
#39
Определения дифференциала
Для функций
Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция
где f'(x0) обозначает производную f в точке x0.
Таким образом df есть функция двух аргументов .
Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение
Для отображений
Дифференциалом отображения в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие
Дифференцируемость
Производная функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление
при
#40
Частные производные. 2.1 Частные производные. Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так: , , если эти пределы существуют. Величина называется частным приращением функции z в точке по аргументу . Используются и другие обозначения частных производных: , , , , , , , . Символы , , , как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной). Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке. Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции относительно при постоянном . Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
Полный дифференциал. . (1) Если приращение (1) можно представить в виде , (2) Где Аи В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом : . (3) Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна. Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что , а это и означает, что в точке функция непрерывна. Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).
#42
Во многих задачах функция y(x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций
невозможно получить зависимость y(x) в явном виде. Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:
Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая, что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;
Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).
#44
Дифференциалы высших порядков
Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка.
Пусть функция z=ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле (d2z = d(dz). Найдем его:
Отсюда: Символически это записывается так:
Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:
где
Методом математической индукции можно показать, что
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z = ƒ(х;у) являются независимыми.
№51-53