- •1. Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
- •2. Аксематическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельная теорема Пуассона.
- •5. Классификация случайных величин.
- •2) Непрерывные случайные величины.
- •6. Математическое ожидание и его свойства.
- •7. Дисперсия и ее свойства.
- •Свойства дисперсии:
- •8. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойства характеристической функции :
- •Способы описания св:
- •9.Теорема об обращении характеристической функции.
- •1 1. Виды сходимости случайных последовательностей.
- •13.Критерий сходимости в среднем квадратичном.
- •15. Усиленный закон больших чисел.
- •16. Центральная предельная теорема.
- •10.Производящие функции и их свойства.
- •17. Определение случайного процесса.
- •19. Статистические средние характеристики случайных процессов.
- •20. Сходимость в среднем квадратичном для случайных процессов.
- •21. Непрерывность случайных процессов.
- •22. Дифференцируемость случайных процессов.
- •23. Интегрирование случайных процессов.
- •24. Стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •25. Процессы с независимыми приращениями.
- •26. Гауссовский случайный процесс.
- •27. Винеровский случайный процесс.
- •28. Марковские случайные процессы и цепи маркова определения.
- •29. Однородные цепи Маркова.
- •32. Уравнения Чепмена-Колмогорова.
- •33. Нахождение вероятностей переходов с помощью производящих функций.
- •34. Классификация состояний цепи Маркова по арифметическим свойствам вероятностей перехода
- •35. Свойство периода состояния.
- •36. Классификация состояний по асимптотическим свойствам переходных вероятностей
- •37. Критерий возвратности состояний.
- •38.Эргодические цепи Маркова
- •40. О средних временах переходов между состояниями
- •41. Стационарные цепи Маркова
- •42. Оптимальные стратегии в марковских цепях
- •43. Система диф.Ур-ий Колмогорова для однородной цепи Маркова с конеч.Числом состояний.
- •44. Процесс гибели и размножения
- •49. Обобщенное уравнение Маркова
- •50.Диффузионные процессы
- •51. Обратное уравнение Колмогорова
- •45. Марковские системы массового обслуживания.
- •Рассмотрим систему с простейшим потоком и экспоненциальным обслуживанием
- •46. Система обслуживания м / м / 1
- •47.Система м / м / n / 0
- •48. Система обслуживания м / м / n
- •52.Прямое уравнение Колмогорова для диффузных процессов
- •53. Стохастический интеграл Ито
- •54. Стохастический интеграл в форме Стратоновича
- •55. Стохастические дифференциальные уравнения
- •39. Закон больших чисел для цепей Маркова с конечным числом состояний.
- •57. Стационарность гауссовского случ.Процесса.
- •58. Теорема Бохнера., спектральная плотность случ.Процесса.
- •60. Мартингалы.
- •18. Пуассоновский случ.Процесс
- •Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
1. Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
классическое определение вероятности.
Для поставим в соответствие действительное неотрицательное число р(А), которое будем называть вероятностью события А.
Определим классическое вероятностное пространство. Пусть - конечное множество. Пусть , а . Возьмём некоторое случайное событие А, которое получено путём объединения . Если все элементарные события равновозможны, то естественно предположить, что вероятность события А пропорциональна числу элементарных событий, которые оно объединяет, т.е. . Коэффициент пропорциональности р можно найти из условия, что (*). Т.е. вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих элементарных события событию А к общему числу всех элементарных событий.
Условие называется условием нормировки.
Говорят, что определена вероятностная модель, если определено множество элементарных событий и на этих элементарных событиях определена функция .
Для рассматриваемого выше случая вероятностная модель выглядит следующим образом: . Т.е. для каждого элементарного события вероятность равна .
Данная вероятностная модель называется классической, а пара элементов наз. классическим вероятностным пространством.
Классическая вероятностная модель определяет классическое вероятностное пространство. Для него:
1) множество элементарных событий конечно;
2) вероятности элементарных событий одинаковы.
В классической модели определение вероятности определяется следующим образом: определяется число элементарных событий, определяющих пространство , затем находится число элементарных событий, составляющих интересующее событие А, и находится отношение второго к первому – это и есть вероятность события А.
Элементы комбинаторики.
Для подсчёта чисел n и N из формулы (*) применяются элементы комбинаторики. Основной принцип комбинаторики заключается в следующем: если некий выбор А можно осуществить n способами, а выбор В – m способами, то выбор А и В можно осуществить способами, а выбор А или В – способами.
При решении задач в теории вероятности часто используются понятия размещение, сочетание, перестановка.
Определение. Если дано некоторое множество , то размещением n элементов по k называется любое упорядоченное подмножество из k элементов множества . Соответственно, сочетанием из n элементов по k называется любое неупорядоченное подмножество из k элементов множества . При размещение называется перестановкой из k элементов.
Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Размещения отличаются друг от друга либо одним элементом, либо порядком их следования.
Число сочетаний находится по формуле .
Число размещений находится по формуле .
Геометрическое определение вероятности.
Геометрическое определение вероятности является расширением понятия классической вероятности на случай несчётного множества элементарных событий. В случае, когда является несчётным множеством, вероятность определяется не на элементарных событиях, а на их множествах. Пусть равновозможные элементарные события w являются точками ограниченного множества n-мерного Евклидова пространства , имеющего меру Лебега .
Рассмотрим систему измеримых по Лебегу подмножеств множества . Для любого случайного события вероятность определяется по формуле .
Под мерой в частном случае понимается: длина отрезка (если ), площадь (если ), объём (если ).
Свойства меры Лебега: мера Лебега – это действительная, неотрицательная, счётно-аддитивная функция множеств, для которой:
1) 3) если
2) 4) , то
Недостатки геометрического определения вероятности:
мера пространства должна быть ограниченной;
все элементарные события должны быть равновероятны.
Пример.
Автобус №4 идет в данном направлении с интервалом в 10 минут. Студент приходит на остановку в случайный момент времени. Найти вероятность того, что студент будет ждать не более 1 минуты.
состоит из точек интервалов длительностью 10 минут. Определим . Событие А = {студент ожидает автобус не более 1 минуты}. будет состоять из точек интервала, отстоящего от конца десятиминутного интервала не более, чем на 1 минуту.
.