- •Ю.Г.Плотников
- •Z гоу впо «Дальневосточный государственный
- •1. Краткие сведения из теории матриц
- •1.1. Действия над матрицами
- •1.2. Собственные числа и собственные векторы матриц
- •1.3. Полная проблема собственных значений. Метод итераций.
- •1.4. Функции матриц
- •2. Матрицы в статике сооружений
- •2.1. Матричная форма определения перемещений
- •2.2. Метод сил
- •2.3. Метод перемещений
- •3. Матрицы в теории устойчивости сооружений.
- •4. Матрицы в динамике сооружений
- •4.1. Динамический расчет систем со многими степенями свободы
- •4.2. Определение внутренних усилий
- •4.3. Примеры динамического расчета конструкций
- •5. Матрицы и метод конечных элементов
- •5.1. Статический расчет стержневых систем
- •5.2. Расчеты стержневых систем на устойчивость
- •5.3. Динамические расчеты стержневых систем
- •4. Учет внутреннего трения при колебаниях конструкций из разнородных материалов.
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный
университет путей сообщения»
Ю.Г.Плотников
Матрицы в строительной механике
Учебное пособие
Хабаровск
Издательство ДВГУПС
2008
УДК 624.04(075. 8)
Рецензенты:
Кафедра «Механика деформируемого твердого тела»
Тихоокеанского государственного университета
(заведующий кафедрой, кандидат технических наук,
доцент А.А.Вайсфельд)
Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой
«Механика деформируемого твердого тела»
Дальневосточного государственного технического университета
К.П.Горбачев
Плотников Ю.Г.
Матрицы в строительной механике: учеб. пособие. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2008. – 111 с: ил.
Учебное пособие соответствует ГОС ВПО направлений подготовки дипломированных специалистов: 270100 «Строительство», 270200 «Транспортное строительство» специальностей: 270102 «Промышленное и гражданское строительство»; 270201 «Мосты и транспортные тоннели» по дисциплине «Строительная механика».
Учебное пособие содержит изложение материала о применении теории матриц в расчетах строительных конструкций. Приведены матричные методы определения перемещений, матричная форма метода сил и метода перемещений, матричный метод проф. А.Ф.Смирнова для определения критической нагрузки в теории устойчивости сооружений, матричные методы решения задач динамики сооружений. Завершает изложение применение теории матриц в методе конечных элементов. Теоретический материал сопровождается решением примеров.
Предназначено для студентов всех форм обучения.
Z гоу впо «Дальневосточный государственный
Университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2008
Введение
Настоящее пособие включает разделы строительной механики, в которых излагаются методы статического и динамического расчета сооружений использующие матричные методы. Представленный материал соответствует действующим в настоящее время учебным программам для строительных и транспортных специальностей.
Развитие строительной механики в настоящее время связано с применением в расчетах строительных конструкций мощных персональных компьютеров (ПК). В связи с этим в теорию расчетов все шире внедряются, использующие удобные для реализации на ПК матричные методы. В настоящее время каждый инженер-расчетчик имеет в своем распоряжении мощный персональный компьютер, который может выполнить любой расчет по программам, написанным на основе методов строительной механики. В свою очередь методы строительной механики требуют перед программированием описания задачи в матричной форме, поскольку язык матричной алгебры оказался наиболее удобным для общения человека с электронно-вычислительной машиной.
Студенты, обучающиеся на инженерно-строительных специальностях, по мере изучения различных дисциплин впервые встречаются с теорией матриц в курсе высшей математики, где им даются основные понятия матричной алгебры. Там же показано применение теории матриц к решению систем линейных алгебраических уравнений. Это все, что дает курс высшей математики будущему инженеру строителю. Для изучения строительной механики этих сведений, полученных на первом курсе обучения явно недостаточно. Поэтому в данном пособии в начале кратко изложен материал матричной алгебры, известный из курса высшей математики, а именно сложение, умножение и обращение матриц. Далее излагаются понятия собственных чисел и собственных векторов матриц. Формулируется полная проблема собственных значений матриц. Дается один из методов решения этой проблемы – метод итераций.
В пособии изложены следующие матричные методы: теория перемещений, методы статического расчета: методы сил и перемещений, определение критической нагрузки при расчете на устойчивость, методы динамического расчета конструкций при действии гармонической и произвольной нагрузки.
Последний раздел посвящен использованию теории матриц в методе конечных элементов. Здесь также рассмотрено решение статических задач, задач устойчивости и динамики стержневых систем.
О б о з н а ч е н и я
|
- |
амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) |
Г |
- |
матрица потерь системы (диссипативная матрица) |
D |
- |
матрица податливости системы |
|
- |
единичные перемещения (элементы матрицы податливости) |
|
- |
матрица податливости, используемая для перемножения эпюр |
|
- |
импульсная переходная функция |
|
- |
обобщенная функция Дирака |
|
- |
логарифмический декремент колебаний |
|
- |
коэффициент потерь материала системы |
H |
- |
парциальная матрица |
K |
- |
матрица жесткости системы |
KG |
- |
матрица геометрической жесткости |
|
- |
единичные реакции (элементы матрицы жесткости) |
L, l |
- |
матрица собственных значений, собственные значения |
m, m |
- |
матрица масс системы и масса материальной точки |
|
- |
динамический коэффициент |
p, p |
- |
диагональная матрица собственных частот и частота (собственных) свободных колебаний |
|
- |
техническая частота собственных колебаний системы в герцах |
x, y, z |
- |
оси координат |
t |
- |
Время |
Ф |
- |
матрица собственных векторов |
|
- |
собственные векторы |
Y |
- |
матрица ортонормированных собственных векторов |
|
- |
ортонормированный собственный вектор |
|
- |
передаточная функция |
|
- |
фазово-частотная характеристика (ФЧХ) |
|
- |
частота возмущения (частота вынужденных колебаний) |
u, v, w, u, v, w |
- |
матрицы перемещений и перемещения по направлению x, y, z соответственно |
|
- |
проекции скоростей точек на оси координат x, y, z |
|
- |
проекции ускорений точек на оси координат x, y, z |
Z |
- |
обобщенные перемещения |