Вопрос 20. Графики в 19 вопросе.

Функция :

1. ;

2. ;

3. убывает на ;

4. функция ни четная, ни нечетная, то есть ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. 

Функция :

1. ;

2. ;

3. ;

4. функция нечетная, то есть ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. 

Функция :

1. ;

2. ;

3. возрастает на промежутке ;

4. функция нечетная, то есть ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. график функции имеет 2 ассимптоты ;

Функция :

1. ;

2. ;

3. убывает на промежутке ;

4. функция ни четная, ни нечетная, то есть ;

5. ;

6. ;

7. график функции имеет 2 ассимптоты .

Вопрос 21.

Уравнения вида sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, a R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Вопрос 22.

Вопрос 23.

Числовой последовательностью называется числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел или на множестве первых натуральных чисел.

 Арифметическая прогрессия - числовая последовательность определяемая условиями: 1) 2) (d - разность арифметической прогрессии).

     Свойства арифметической прогрессии:

     Формула n-го члена:

     Формулы суммы n первых членов:

 Геометрическая прогрессия - числовая последовательность определяемая условиями: 1) 2) n = 1, 2, ... (q - знаменатель геометрической прогрессии).

     Свойства геометрической прогрессии:

     Формула n-го члена:

     Формулы суммы n первых членов :

     Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

Вопрос 24.

Число a называется пределом последовательности x = {x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут

Вычисление пределов

Вопрос 25.

Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического и функционального анализов. Предел - это значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Определение предела по Коши и Гейне

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. Число L называется пределом функции f (x) при х , если для каждого существует такое число , что при условии 0

Данное определение предела -опр-е Коши. Сущ-ет опр-е по Гейне, согласно которому функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точке a, последовательность f(x_n) сходится к L. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов

(то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .

Односторонние пределы Соответствующий предел называется левосторонним пределом функцииf (x) в точке x = a. Соответствующий предел называется правосторонним пределом функции f (x) в точке x = a. Двусторонний предел существуют лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу.