- •Глава 2. Вызначаны інтэграл
- •§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі
- •Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі
- •§2. Паняцце вызначаннага інтэграла п1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла
- •П2. Паняцце вызначанага інтэграла
- •§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці п1. Паняцце сум Дарбу
- •§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый. Класы інтэгравальных функцый
- •Класы інтэгравальных функцый
- •§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла
- •§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой. Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі. Формула Ньютана - Лейбніца
- •§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў
- •§9. Квадравальныя фігуры п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці
- •П2. Паняцце квадравальнай фігуры
- •П3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры
- •§10. Вылічэнне плошчаў фігур п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат
- •§11. Кубавальныя целы п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці
- •П2. Паняцце кубавальнага цела
- •П3. Крытэрыі кубавальнасці цела
- •§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў п1. Аб'ём прамога цыліндра
- •П2. Аб'ём с-цела
- •§13. Даўжыня дугі крывой п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах
- •П2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах
- •§14. Плошча паверхні абароту
- •§15. Неўласцівыя інтэгралы п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных прамежках (інтэгралы і роду)
- •П3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый (інтэгралы другога роду)
- •П4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў іі роду
- •Прыклад.
§13. Даўжыня дугі крывой п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах
Няхай крывая АВ задана раўнаннем y = f(x), x [a,b], f(x) непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя . Крывая АВ не мае пунктаў самаперасячэння.
Падзелім АВ пунктамі: A = Mo, M1,…, Mk, Mk+1,…, Mn = B. Злучым іх хордамі. Атрымаем ламаную, якая мае перыметр р. Найбольшы з яе звеньяў абазначым .
Азначэнне 1. Калі існуе концавы ліміт l перыметра р упісанай ў крывую ламанай пры 0: , то ён называецца даўжынёй крывой АВ.
Крывую, даўжыня якой існуе, называюць выпрастальнай (спрямляемой).
Тэарэма 1. Калі функцыя f(x) непарыўная разам са сваёй вытворнай f(x) на адрэзку [a,b], то крывая АВ выпрастальная і яе даўжыня можа быць падлічана па формуле:
(1)
Бохан і др. Гл.Х, §2.
Няхай крывая АВ задана параметрычна формуламі . (2)
Функцыі (t) і (t) непарыўныя разам са сваімі вытворнымі на адрэзку [,], (t) 0, функцыя (t) манатонная на адрэзку [,], таму яна мае адваротную функцыю t = v(x) манатонную і непарыўную на адрэзку [a,b], дзе a = (), b = (), мае непарыўную вытворную v’(x) = . Тады функцыя y = (t) = ( v(x)) = f(x) непарыўная як складаная ад непарыўных функцый на адрэзку [a,b] разам са свёю вытворнай f ’(x). Вядома, што для функцыі, заданай параметрычна (3); dx = d((t)) = ’(t)dt. Падставім роўнасць (3) у формулу (1) (4)
Формула (4) – формула даўжыні дугі, якая задана параметрычна.
П2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах
Няхай крывая АВ задана ў палярных каардынатах раўнаннем r = f() [,]. Функцыя f() мае непарыўную вытворную f’() на адрэзку [,]. Пунктам А і В адпавядаюць пункты і . Скарыстаем формулы пераходу
. Атрымалі параметрычнае заданне крывой АВ з параметрам . Знойдзем x’ i y’, падставім іх у формулу (4).
Формула (5) - формула даўжыні дугі ў палярных каардынатах.
Заўвага. Падынтэгральны выраз у формулах (1, 4, 5) называецца дыферэнцыялам дугі.
§14. Плошча паверхні абароту
Няхай на адрэзку [a,b] азначана непарыўная, дадатная, дыферэнцавальная функцыя y = f(x), графікам якой з’яўляецца крывая АВ. Пры абароце крывой АВ вакол восі Ох атрымаецца паверхня , якую называюць паверхняй абароту.
Зробім разбіўку адрэзка [a,b] пунктамі а = хо< х1 < …< хn = b,
хk = xk - хk-1, = max { хk }, k = 0,1,2,….
Адпаведна крывая АВ разабьёцца пунктамі Mk(xk,f(xk)). Злучым пункты хордамі і атрымаем ламаную. Пры абароце яе вакол восі Ох атрымае паверхню Pn, якая з’яўляецца аб’яднаннем паверхняў ссечаных конусаў і цыліндраў, паверхні якіх вылічваюцца па адной з формул: Sc.к. = (r1 + r2)l;
Sц. = 2rl.
Азначэнне 1. Плошчай паверхні абароту будзем называць концавы ліміт плошчы абароту ламанай, калі : . (1)
Азначэнне 2. Калі існуе концавы ліміт (1), то паверхня называецца квадравальнай.
Тэарэма 1. Калі функцыя f(x) непарыўная разам са саей вытворнай на адрэзку [a,b], паверхня абароту графіка функцыі f(x) квадравальная, то плошчу паверхні абароту можна вылічыць па формуле:
або . (2)
Бохан і др. Гл.Х, §4.
Вынік 1. Няхай функцыя f(x) задана параметрычна формуламі . (t), (t), ’(t) , ’(t) непарыўныя на адрэзку [,] функцыі, ’(t) 0, то (3)
Вынік 2. Няхай крывая АВ – графік функцыі f(x) задана ў палярных каардынатах раўнаннем r = f() [,]. Функцыя f() мае непарыўную вытворную f’() на адрэзку [,]. Пунктам А і В адпавядаюць пункты і . Скарыстаем формулы пераходу
. Атрымалі параметрычнае заданне крывой з параметрам . Тады . (4)
Прыклады.