53. Производная сложной функции:
Дана
сложная функция y=f(X),т.е
y=y(u),
где u=u(x),т.е
y=y(u(x)),
x-независимая
переменная, u-промежуточный
аргумент. производная сложной функции
y=y(u(x))
равно изведению производной функции
y
по промежуточному аргументу U
на производную от промежуточного
аргумента по x
т.е
док-во:
при определении значения x:
u=u(x),
y=y(u),при
значении x=x+
,
y+
=y(u+
u),где
u+
u=(x+
x);
по определению производной
.Функция отличается от своего предела
на бесконечно малое слагаемое т.е
где
.
Умножим обе части равенства на
тогда
.
Разделим обе части равенства на
и перейдем к пределу:
. это равно
56.Производные от функций и
Функция
является обратной по отношению к
функции
57. Гиперболические функции
часто встречается виде некоторых комбинаций, для которых используют некоторые комбинации:
;
;
Отношения
между гиперболическими функциями
похожи на тригонометрические:
Производную от гиперболической функции нетрудно найти, используя правило дифференциации :
13. Линейные системы уравнений. Основные определения. Матричная запись.
Линейной системой уравнений наз-ся система вида:
(1)
Матрица состоящая из коэффициента системы наз-ся основной матрицей системы. Вид расширенной матрицы системы:
А̃=
AX=H (2)
Матричное равенство (2) равносильно системе (1) согласно правилу умножения матриц.
Упорядоченное
множество чисел
наз-ся
решением системы (1), если после постановки
этих чисел уравнение системы вместо
неизвестных х1,х2,х3 каждое уравнение
из этой системы превращает в верное
равенство. Если линейная система ур-ий
имеет одно единственное решение-эта
система наз-ся определенной.
Если она имеет более одного решения, то неопределенной. Если не имеет решений, то наз. несовместной.
Если имеет хотя бы одно решение, то совместной. Две системы имеющие одинак. множ-во решений наз. равносильными или эквивалентными. Элементарные преобразования над системой:
1)умножение люб. ур-ия на люб. число отличное от 0.
2)прибавление к обеим частям одного из ур-ий ситстемы, обеих част. друг. ур-ния умноженных на любое число.
3)перемена мест ур-ий системы.
14. Формула Крамера
Рассмотрим линейную систему из n уравнений относительно n неизвестных:
А- осн. матр. в этой системе будет квадратная.
Ее
определитель
наз.определителем
системы. Ту систему можно записать в
матричном виде: AX=H
(4)/ Если определитель ∆ detA≠0,
то система наз-ся невырожденной. В этом
случае основная матричная система
имеет обратную А
,
котор. Может быть найдена по формуле:
Умножим
обе части из(4) слева на матрицу
,тогда
получим
(5)
Это равенство даст решение системы (3) в матричной форме.
Перепишем
(5) в развернутом виде
Отсюда
по правилу умножения матриц имеем
(j=1,2
….n).
В скобках правой части стоит сумма
произведения чисел
на алгебраическое дополнение j-столбца
в матрице А.
Теорема Замещения. Согласно
теореме замещения это выражение=
определителю котор. Получ. И определителя
заменой в нем житого столбца на столбец
из свободных членов
Ф.Крамера
(6)
Эти формулы наз-ся формулами Крамера, где ∆-определитель системы, ∆j-определитель, который образ-ся из определителя системы заменой в нем j-столбца на столбец из свободных членов. Таким образом, мы показали, что любая невырожденная система из n уравнений относительно n неизвестных имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера.