40. Двумерная св. Задание закона распределения заданной св.

Двумерной называют случайную величину (X, Y), возможные

значения которой есть пары чисел (x, у). Составляющие X и У,

рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных

величин.

Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную

точку М {X; У) на плоскости хОу либо как случайный

вектор ОМ.

если составляющие - дискретные случайные величины, то двумерную случайную величину называют дискретной случайной величиной; если составляющие – непрерывные случайные величины, то случайная величина называется непрерывной случайной величиной.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины

называют соответствие между возможными значениями и их

вероятностями.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины

может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей

возможные значения и их вероятности

Зная закон распределения двумерной случайной величины можно найти закон распределения каждой из составляющих. Например

б) аналитически, например в виде функции распределения.

Def: функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию действительных переменных :

41. Функция распределения двумерной св, ее свойства. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу и прямоугольник.

Def: функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию действительных переменных :

,

определяющую для каждой пары чисел (х, у) вероятность того, что X примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее у

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Свойства интегральной функции распределения:

1.

2. —неубывающая функция по каждому аргументу

3.Имеют место следующие отношения:

4.Если одна составляющая равна , то интегральная функция становится функцией другой составляющей:

Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

42. Двумерная плотность вероятности, ее свойства. Вероятность попадания случайной точки в заданную область.

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:

Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности» используют термин «дифференциальная функция системы».

Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами ∆x и ∆y к площади этого прямоугольника, когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можно

истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения

по формуле

.

Вероятность попадания случайной точки (Х Y) в область D

определяется равенством

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна:

2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице:

В частности, если все возможные значения (X, Y) принадлежат

конечной области D, то

43. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных СВ.

Условным законом распределения называется распределение одной

случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина

приняла определенное значение.

Рассмотрим двумерную ДСВ (X,Y), возможные значения которой следующие:

x₁ , x₂ , x₃ , … , x_n

y₁ , y₂ , y₃ , … , y_m .

Обозначим условную вероятность того, что случайная величина X=x₁ при условии, что случайная величина Y=y₁ через P(x₁/y₁) .

Определение: Условным распределением составляющей Х при условии что Y = y_j называют совокупность условных вероятностей:

P(x₁/y_j), P(x₂/y_j) , ….. , P(x_n/y_j),

вычисленных в предположении, что событие {Y = y_j } уже наступило.

Аналогично можно определить условное распределение составляющей Y .

Зная законы распределения дискретных двумерных случайных величин, можно вычислить условные законы распределения составляющих, используя формулу:

; .

Пусть дана двумерная непрерывная случайная величина (X,Y) .

Определение: Условной плотностью (x/y) распределения составляющих Х при данном значении Y=y называют отношение плотности совместного распределения (X,Y) к плотности распределения составляющей Y :

.