§18. Поверхности в пространстве.

Общая постановка задач в пространстве была дана в §12. Рассмотрим сейчас несколько специальных задач.

1. Цилиндрические поверхности.

Рассмотрим уравнение с двумя переменными в пространстве : F(x,y) = 0. На плоскости XOY

оно описывает некоторую кривую. В пространстве каждой точке (x^*,y^*) этой кривой будет соответствовать прямая , т.е. прямая, проходящая через точку (x^*,y^*,0) и параллельная оси OZ. Поверхность, образованная множеством всех таких прямых, называется цилиндром с направляющей F(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ.

Аналогично рассматриваются цилиндры, образующие которых параллельны другим координатным осям: F(x, z) = 0 и F(y, z) = 0.

Замечание. Естественно, существуют наклонные цилиндры, в уравнения которых входят все переменные в явном виде. Однако, должен существовать такой поворот системы координат, после которого одна из переменных будет отсутствовать в записи уравнения.

Примеры. 1) − прямой круговой цилиндр радиуса r и осью OZ.

2) − эллиптический цилиндр с образующей, параллельной оси OY.

3) у² = 8z − параболический цилиндр с образующей, параллельной оси OХ.

§19. Поверхность вращения.

В этом параграфе будут рассмотрены поверхности, образованные вращением плоской кривой вокруг одной из координатных осей. Для определенности, возьмем кривую F(y, z) = 0 в плоскости YOZ и ось вращения ОZ . Зафиксируем произвольное значение z^* и выразим из уравнения F(y, z^*) = 0 соответствующее значение у = f(z^*). При вращении, в плоскости z = z^* получится окружность

x² + y² = f ²(z^*). Уравнение самой поверхности вращения будет иметь вид x² + y² = f ²(z) (рис.10).

Необходимо отметить, что аналитическое решение уравнения

z F(y, z^*) = 0 относительно у совсем не обязательно, тем более,

F(y, z) = 0 что оно может быть достаточно трудоемким, либо невозможным.

Поэтому, уравнение поверхности вращения в данном случае

записывается следующим образом:

y

x

рис.10

Правило записи уравнения поверхности вращения плоской кривой вокруг координатной оси: Поверхность вращения плоской кривой вокруг координатной оси может быть получена заменой второй переменной в уравнении кривой на квадратный корень из суммы квадратов этой и отсутствующей переменных (в рассмотренном случае ).

Пример. Написать уравнения поверхностей, полученных в результате вращения кривой у² = 6х вокруг осей ОХ и OY. {

}

Замечание. Если в уравнении некоторой поверхности две переменные присутствуют только

в связке как сумма квадратов, то эта поверхность является поверхностью вращения вокруг координатной оси третьей переменной.