Уравнение Гюгонио

Рассмотрим распространение ударных волн в идеальном газе с постоянной теплоёмкостью. В этом случае уравнение адиабаты Гюгонио получает простую форму и может быть записано в явном виде.

Известно, что предположение о постоянстве теплоём­кости газа справедливо только в более или менее широком интервале температуры. Одноатомные газы имеют действи­тельно постоянную теплоёмкость на моль ( — га­зовая постоянная, равная ), начиная от конденсации и вплоть до температур порядка 10000º, при которых наступает ионизация.

Двухатомные газы имеют теплоёмкость только при таких низких температурах, когда вращательные состояния ещё не возбуждены. Но все газы, кроме водо­рода, при атмосферном давлении конденсируются при более высоких температурах. Поэтому практически у двух­атомных газов теплоёмкость равна до тех температур, при которых возбуждаются колебания. Для кислорода это составляет 2000º, для азота—около 3000º, для водорода — около 5000º.

У трёхатомных газов с линейной молекулой тепло­ёмкость, обусловленная переносным и вращательным дви­жением молекул, равна , как и у двухатомных молекул. У треугольных молекул переносная и вращательная теплоёмкость составляет , так как треугольная молекула имеет три вращательные степени свободы, а на каждую степень свободы приходится теплоёмкость .

Итак, пусть теплоёмкость газа в ударной волне не изменяется, т, е. скачок температуры не превышает интер­вала постоянства теплоёмкости. Обозначим отношение

. Тогда у одноатомного газа , у двухатом­ного трёхатомного с линейной молекулой , у газа с треугольной молекулой . Всюду колебания считаются невозбуждёнными.

Найдем уравнения для молярных теплоемкостей при изобарном и изохорном процессах.

При изобарном процессе присутствуют и (внутренняя энергия газа), и (работа газа над окружающими телами). Откуда:

При изохорном процессе газ не изменяет своего объема, т. е. не совершает работу и :

Так как , то для коэффициента Пуассона имеет место уравнение:

Подставим полученное в выражение для внутренней энергии идеального газа () и получим:

Энтальпия же по формуле примет вид:

Теперь вспомним об уравнении энергии из элементарной теории ударных волн и, проведя ряд несложных преобразований, выразим υ через .

Теперь рассмотрим следствия из полученного соотношения для волн разной силы:

Сначала слабые волны, для которых . Выразим изменение объёма через изменение давления:

Учитывая уравнение Пуассона, согласно которому Данное соотношение отвечает изэнтропической зависимости объёма от давления.

Для сильных ударных волн, где (соответственно вполне можно пренебречь), получим предельный закон:

Другими словами, сколь угодно сильная ударная волна не может сжать газ более, чем в раз. К примеру, предельное сжатие одноатомного газа – четырёхкратное, двухатомного – шестикратное, трёхатомного с нелинейной молекулой – семикратное (без возбужденных колебаний).

На этом примере можно продемонстрировать явные раз­личия между адиабатой Гюгонио и изентропой. Потому что на изэнтропе давление устремляется в бесконечность при , а на адиабате Гюгонио – при , т. е. при конечном сжатии. Действительно, изэнтропа находится ниже адиабаты Гюгонио, если говорить о части кривой, лежащей со стороны высоких давлений, т. е. .

Другим характерным различием между ударным сжатием и изэнтропическим является то, что в результате нескольких ударных сжатий объём зависит последовательности ударных волн и распределения полного давления по отдельным этапам сжатия. Изэнтропический же процесс дискретен и конечный объём зависит только от полного изменения давления. Проиллюстрируем это на примере идеального газа.

Пусть конечное давление весьма велико. Ударная волна пущена по газу один раз, соответственно газ сжат в раз. Если же разделить сжатие на два этапа, из которых каждый сжимает в отношении , результирующее сжатие получится в раз.

Вернемся к сильным ударным волнам, чтобы получить еще некоторые соотношения.

Выразим фор­мулы для скорости фронта волны и для скорости вещества (мы пренебрежем по сравнению с ):

Еще можно эти формулы сопоставить с выражением для скорости звука в сжатом веществе и перейти к начальному объёму:

Теперь установим зависимость температуры при известной плотности. Относительное изменение давления выведем путем простых преобразований:

Это мы, кстати, получили уравнение Гюгонио.

Дальше (отсылка на Менделеева-Клапейрона):

Возьмем предельный случай, когда , тогда температура повысится в раз, тогда как при изэнтропичестком сжатии отношение температур равно как известно:

Это соответствует более медленному повышению температуры. Например, если , то у двухатомного газа , . При , у того же двухатомного газа (, , а (безусловно, последний случай является лишь числовой иллюстрации, так как температура не может возрасти в 1660 раз при постоянной теплоёмкости двухатомного газа).

Благодаря тому, что при ударном сжатии температура пропорциональна , она повышается больше, нежели при изэнтропическом сжатии. При ударном характере сжатия возрастает, a остаётся конечным. При изэнтропическом сжатии с ростом стремится к нулю, хотя и слабее, чем растёт .