1. Понятия комбинаторики.

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненным определенным условиям, которые можно составить из элементов любой природы, заданного конечного множества. Т.о. теория комбинаций или комбинаторика изучает некоторые операции над конечными множествами. Эти операции приводят к понятиям перестановок, размещений и сочетаний. Комбинаторика решает также задачи, связанные с этими операциями.

Основными задачами комбинаторики являются: а)определение типа комбинаций, б)подсчет количества комбинаций.

1)Перестановка

опр: Перестановкой некоторого количества объектов называется любое размещение этих объектов в определенном линейном порядке.

опр: Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n элементов (различных) отличных только порядком их расположений. P_n=n!

пример: сколькими способами можно расставить 3 книги: P=3!=1*2*3=6.

Если количество объектов n велико, то дерево и метод рассуждений занимают большое количество времени. В этом случае используется более быстрый способ подсчета.

Утв: «Нужно выполнить k действий , причем первое действие можно выполнить n₁ способами, второе – n₂ способами, k-е действие – n_k спосбами». Тогда все k действий можно выполнить n₁*n₂*n₃*…*n_k способами.

пример: Номер автомобиля состоит из 2 букв и трехзначного числа. Сколько различных номеров. (26 букв латинского алфавита, номер не может быть 000).

|26|26|9|10|10| => 26*26*9*10*10=608400.

2)Размещение

опр: Размещение – это перестановки из n элементов, в которых учавствуют не все элементы, а лишь определенное их количество.

опр: Размещениями называют комбинации из n элементов по m элементам, которые различаются либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Количество размещений .

пример: сколькими способами из 7 книг можно отобрать 3 и расставить их на 3 места.

1 способ: |7|6|5| => 7*6*5=210

2 способ:

пример: сколько различных перестановок можно получить, если брать по 5 карт из колоды, содержащей 52 карты.

3)Сочетание

пример: сколькими способами читатель может отобрать 3 книги из 4-х, если порядок его не интересует.

а) порядок важен(т.е. ABC,…ACB-разные вещи)

- это размещение.

б) порядок не важен (ABC и CBA одно и тоже)

ABC, ABD, ACD, BCD – 4 способа.

Вывод: Сочетания отличаются от размещений тем, что в сочетаниях порядок элементов не учитывается, а в размещениях – учитывается.

опр: Сочетанием называется набор объектов, рассматриваемых без учета их порядка.

опр: Сочетаниями называются комбинации из n элементов, которые различаются хотя бы одним элементом.

- количество сочетаний.

пример: сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей.

Размещение, сочетание и перестановка связаны между собой:

2. Случайные события. Основные понятия.

Наблюдаемые нами события делятся на достоверные, невозможные и случайные.

опр: Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при каждом испытании или при выполнении определенного комплекса условий (обозначается ).

опр: Невозможным называется событие, которое не может произойти в испытании (обозначается ).

опр: Случайным называется событие, которое может либо произойти, либо не произойти в испытании (обозначается A, B, C,…).

пример: в урне лежат красные и синие шары.

соб.A: вынут шар красного или синего цвета. A=.

соб.B: вынут шар белого цвета. B=.

соб.C: вынут шар красного цвета. C - случайное событие.

опр: Событие A, B, C и т.д. называется несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления других в одном и том же испытании.

пример: бросаем монету (одно бросание - одно испытание).

соб.А - орел, соб.B – решка, соб.С – ребро.

опр: Событие A, B, C и т.д. образуют полную группу, если в результате появляется хотя бы одно из них (одно и более).

зам: Если событие, образующее полную группу попарно несовместны, то в результате испытания может появиться одно и только одно из них.

пример: стрелок стреляет по мишени. соб.А – попадание, соб.B – непопадание.

опр: Событие называется равновозможным, если нет обоснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

пример: бросаем игральную кость. Выпадение определенного числа очков.