47,48.Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема V этого тела сведем к вычислению интеграла.

Делаем разбиение R отрезка [a,b] точками а=х₀< x₁< x₂<…< x_n=b. На отрезке [x_i, x_i+1] строим прямоугольник высотой f(x_i). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(x_i) и высотой ∆ x_i. Его объем равен π[f(x_i)]² ∆ x_i. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x₀,x₁], [x₁,x₂],…[x_n-1,x_n]. Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем V_n.

Определение: Если существует предел V_n, когда

Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.

Очевидно,

Д анная сумма является интегральной суммой для функции,

К оторая непреывна по условию. Следовательно, интеграл сществует. Формула для объема тела вращения имеет вид:

П лощадь поверхности вращения.

Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то