4.2. Критерий управляемости для линейных систем второго порядка

Ранее был сформулирован критерий управляемости Хаутуса для линейных систем с управляющими параметрами, уравнения для которых имели форму Коши, то есть содержали производные только первого порядка и были разрешены относительно производных.

Рассмотрим теперь системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенные относительно вторых производных

, 1164116\* MERGEFORMAT (.)

В системе уравнений 4116

- n-мерный вектор-столбец пространства состояний, 1174117\* MERGEFORMAT (.)

-k- мерный вектор управления 1184118\* MERGEFORMAT (.)

Оглавление

- постоянные матрицы, 1194119\* MERGEFORMAT (.)

- матрица дозатор. 1204120\* MERGEFORMAT (.)

Такую структуру имеют системы динамических уравнений малых колебаний около положения равновесия. В этом случае матрица М представляет собой матрицу инерции, симметричную, неособую и положительно определенную. Матрицы D и K- матрицы скоростных и позиционных сил, соответственно.

Для системы уравнений 4116 докажем теорему

ТЕОРЕМА

Система 4116 управляема тогда и только тогда, когда

1214121\* MERGEFORMAT (.)

для всех корней её характеристического уравнения

. 1224122\* MERGEFORMAT (.)

Для доказательства условия 4121 предварительно разрешим ее относительно старших производных

. 1234123\* MERGEFORMAT (.)

Такое преобразование возможно, так как матрица М инерционных коэффициентов положительно определена и, значит, обратима. Далее, систему 4123 n уравнений второго порядка приведем к системе 2n уравнений первого порядка. Введем расширенный вектор переменных

1244124\* MERGEFORMAT (.)

Уравнения для вектора имеют вид

Оглавление

1254125\* MERGEFORMAT (.)

1264126\* MERGEFORMAT (.)

Порядок системы уравнений 4125 равен 2n, и условие управляемости по теореме Хаутуса 4106 для неё имеет вид

. 1274127\* MERGEFORMAT (.)

Заметим, что характеристические уравнения и, соответственно их корни, для систем 4116 и 4125 совпадают. В самом деле, характеристический многочлен для системы 4125 равен

1284128\* MERGEFORMAT (.)

Умножим второй столбец коагулированной матрицы на и сложим с первым. Такое преобразование не изменяет определителя матрицы, следовательно

1294129\* MERGEFORMAT (.)

Согласно 4126, условие Хаутуса будет

. 1304130\* MERGEFORMAT (.)

Преобразуем матрицу 4130. Второй столбец матрицы умножим на и сложим с первым. Такое преобразование не изменяет ранга матрицы, поэтому условие управляемости теперь

1314131\* MERGEFORMAT (.)

_{Умножим матрицу} 4131 слева на неособую квадратную матрицу

Оглавление

, 1324132\* MERGEFORMAT (.)

и получим условие управляемости Хаутуса в виде

1334133\* MERGEFORMAT (.)

Поскольку полученная матрица содержит в первых n строках единичную матрицу Е, то условие 4133 равенства 2n ранга матрицы расширенной системы 4125 эквивалентно требованию

1344134\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, теорема 4121 доказана.

4.3. Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте критерий управляемости Хаутуса для систем в форме Коши.

2. Сформулируйте критерий управляемости Хаутуса для систем дифференциальных уравнений второго порядка.

Оглавление