- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •10. Число e.
- •11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •12. Лемма о вложенных отрезках.
- •18. Локальные свойства функций имеющих предел.
- •16. Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности
- •21. Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •19.Теорема о пределе суперпозиции
- •23. Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •24. Замечательные пределы
- •27. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •29. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •30. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что
- •33. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала
- •46. Условия монотонности функции.
- •47. Условия экстремума функции.
- •48. Условия выпуклости функции
- •51.Комплексные числа
- •14. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •28. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •40. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
Множества и действия над ними.
Совокупность рассматриваемых объектов -множество, объекты – элементами или точками множества.
Множество состоящее из конечного числа элементов называется конечным, в противном случае оно называется бесконечным.
множества образуются с помощью общего свойства элементов.
множество состоит из всех объектов, обладающих свойством
пустое множество, которое по определению не содержит ни одного элемента. обозначается Ø.
Опр: 1. Если каждый элемент множества является также и элементом множества , то множество называется подмножеством множества , при этом пишут или .
Опр: 2. Множества и называют равными друг другу и пишут , если они состоят из одних и тех же элементов или, иначе, если и .
Опр: 3. Объединением множеств и называется множество
.
Опр: 4. Пересечением множеств и называется множество
.
Очевидно, имеют место следующие свойства операций ∪ и ∩:
а) (коммутативность операции ∪);
б) (коммутативность операции ∩);
в) (ассоциативность операции ∪);
г) (ассоциативность операции ∩);
д)
и
(дистрибутивные свойства операций ∪ и ∩);
Опр: 5. Разностью между множеством и множеством называется множество
.
Опр: 6. Прямым (или декартовым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что .
Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
Пусть и – произвольные множества. Правило , по которому каждому элементу ставится в соответствие определенный, и при том единственный, элемент называется отображением множества во множество , при этом множество называется областью определения отображения , а множество –областью значений этого отображения.
Если элемент отображением сопоставляется элементу , то элемент называют образом элемента при отображении или значением отображения в точке и обозначают , при этом пишут , а сам элемент , который отображением сопоставляется элементу называют прообразом элемента y при отображении .
Пусть даны отображения и .Новое отображение , определенное по следующему правилу: называют суперпозицией отображений и .
Пусть задано отображение и множество . Определим новое отображение , полагая, что . Так определенное отображение называется сужением отображения на множество и обычно обозначается .
Множество называется графиком отображения .