- •1.Поняття про визначник. Визначники другого та третього порядку.
- •3.Мінор та алгебраїчне доповнення елемента визначника n-ого порядку.
- •6.Властивості визначника.
- •8.Означення матриць, типи матриць.
- •9.Використання матриць у економіці.
- •10.Операції над матрицями.
- •11.Операція множення матриць та її особливості.
- •12.Обернена матриця та порядок її відшукання (алгоритм).
- •13.Ранг матриці. Теорема про перетворення , які не змінюють ранг матриці.
- •14. Базовий мінор та два засоби знаходження рангу матриці.
- •15. Система m лінійних рівнянь з п невідомими. Основні означення.
- •20.Довільна неоднорідна система лінійних рівнянь. Її загальний та частиний розв’язки.
- •21.Розвязання довільної системи рівнянь методом Гаусса
- •22.Однорідна система лінійних рівнянь та особливості її розв’язку.
- •23.Арифметичні вектори (точки) простору r та операції над ними.
- •24.Аксіоми яким задовольняють лінійні операції над векторами. Означення арифметичного векторного простору.
- •25 .Скалярний добуток двох п-мірних векторів та його властивості…
- •27.Лінійна комбінація п-мірних векторів
- •28.Базис та ранг системи векторів. Розклад вектору по векторам базису…
- •29.Перехід до нового базису:
- •38.Рівняння лінії на площині. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом…
- •39.Рівняння прямої, яка проходить через задану точку у заданому напрямку…
- •42. Загальне р-ня прямої в r2 та його дослідження.
- •45.Відстань від точки до прямої.
- •47.Загальне рівняння лінії другого порядку. Рівняння кола.
- •48.Еліпс, рівняння еліпсу та характеристична властивість.
- •49.Гіпербола, її рівняння. Асимптоти гіперболи.
- •56.55.Векторне,канонічне та параметричне р-ня прямої у трьомірному просторі просторі.
- •58.Взаємне розміщення площини та прямої.
- •59.Означення числової послідовності. Обмежені та необмежені послідовності.
- •60.Границя числової послідовності та її геометричний зміст. 60.Арифметичні операції над послідовностями та їх границями.
- •62Нескінченно малі та їх властивості.
- •63.Нескінченно великі та їх властивості.
- •64.Звязок між нескінченно малими та нескінченно великими. Зв’язок нескінченно малих з границею послідовності.
- •65.Теорема про одиничні границі числової послідовності. 66.Теорема про обмеженість збіжної послідовності.
- •67. Граничний перехід у нерівностях.
- •69. Поняття функції однієї незалежної змінної. Використання ф-цій в економіці.
- •70.Засоби завдання ф-ції. Клас-ція ф-цій. Основні влас- тивості ф-ції.
- •71.Границя ф-ції у нескінченності та у точці.
- •75.Перша та друга визначні границі.
- •76.Розкриття невизначеностей виду 0/0 8/8.
- •77.Неперервність ф-цій в точці та основні властивості ф-цій, неперервних в точці.
- •78.Точки розриву ф-цій та їх класифікація.
- •79.Неперервність ф-ції на відрізку та властивості ф-цій, неперервних на відрізку. 79.Неперервність основних елементарних ф-цій.
- •81.Задачі, які приводять до поняття похідної. 82.Означення похідної, її геометричний, механічний та економічний зміст. Рівняння дотичної.
- •82.Означення похідної, її геометричний, механічний та економічний зміст.
- •83.Схема знаходження похідної.
- •84.Правила диференціювання.
- •86.Критичні точки. Означення опуклості, вгнутості, точки перегину.
- •87.Асимптоти графіка функції.
- •90.Похідна складної та неявної ф-ції. Похідна вищих порядків.
- •95.Означення диференціалу функції та його геометричний зміст
20.Довільна неоднорідна система лінійних рівнянь. Її загальний та частиний розв’язки.
Нехай є довільна система рівнянь вигляду:
Якщо вільні члени системи не дорівнюють 0 одночасно, система називається неоднорідною.
1.Якщо у цій системі m=n, то її можна дослідити за теоремою Кронекера-Капелі. Розв’язувати таку систему можна за допомогою теореми Крамера або матричним методом.
2.Якщо m=n, тоді можливі два випадки, коли система сумісна та несумісна.
Озн: Змінні довільної системи рівнянь будуть називатися базовими, якщо визначник матриці коефіцієнтів біля них відмінний від 0.
21.Розвязання довільної системи рівнянь методом Гаусса
Метод Гауса – це метод послідовного виключення невідомих. Він полягає у тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь зводиться до рівносильної системи східцевого або трикутного вигляду, з якої, послідовно, починаючи з останніх за номером змінних, знаходять всі інші елементи. Метод гауса зручно використовувати, працюючи з розширеною матрицею системи замість рівнянь. Розширена матриця у цьому випадку записується з прямою рискою, яка відділяє коефіцієнти біля невідомих від вільних членів.
Метод Гауса буде більш досконалим, якщо за допомогою елементарних перетворень можна одержати рівними 0 не тільки елементи, що лежать нижче головної діагоналі, а й ті елементи, що лежать вище головної діагоналі.
Кроком перетворення Жордана-Гаусса називають елементарні перетворення, за допомогою яких задана система зводиться до еквівалентної системи.
Алгоритм кроку перетворення Жордана-Гаусса
1.Обирають розвязувальний елемент не дорівнює 0;
2.Елементи і-го рядка ділять на і записують в і рядок розрахункової таблиці;
3.В розвязувальному j стовпці замість пишуть одиницю, а замість інших елементів цього стовпця пишуть 0.
4.Роблять перевірку правильності розрахунків шляхом порівняння суми елементів рядка з відповідним елементом контрольного стовпця, розрахованим за правилом прямокутника
22.Однорідна система лінійних рівнянь та особливості її розв’язку.
Озн: Система m лінійних рівнянь з п невідомими називається системою лінійних однорідних рівнянь, якщо усі її вільні члени дорівнюють 0. Вона має вигляд:
Система лінійних однорідних рівнянь завжди сумісна, так як завжди має, по крайній мірі нульовий розв’язок(0,0,0,…,0).
Якщо m=n та визначник системи відмінний від 0, то така система має єдине рішення - нульове, якщо система має визначник рівний 0-система має безліч розв’язків. Ненульові розвязки можливі лише для тих систем, у яких число рівнянь менше числа змінних або коли вони рівні та визначник системи дорівнює 0.
Якщо m не дорівнює n- можливі два випадки:
1. m менше n –безліч розв’язків;
2. m більше n – можливі теж два випадки.
г(А)= n –єдиний розв’язок.
г(А)менше n –безліч розв’язків.
Теорема: Система лінійних однорідних рівнянь має ненульові розв’язки тоді та тільки тоді, коли ранг матриці коефіцієнтів біля невідомих менше числа невідомих.