- •Определение и действия над матрицами. Простейшие свойства и примеры.
- •Ассоциативность умножения матриц. Примеры.
- •Некоммутативность умножения матриц. Примеры.
- •Значение многочлена от матрицы. Простейшие свойства и примеры вычислений.
- •Транспонирование матрицы. Единичная матрица. Простейшие свойства. Примеры.
- •Определители 2-го и 3-го порядков. Способы вычисления. Примеры.
- •Элементарные сведения теории перестановок. Изменение четности перестановки при транспозиции. Примеры.
- •Определение и простейшие свойства определителя квадратной матрицы порядка n. Примеры вычисления определителей.
- •Свойства определителя: Общее правило знака. Определитель транспонированной матрицы.
- •Свойства определителя: Определитель матрицы, строка которой есть сумма двух строк. Определитель матрицы, строка которой имеет общий множитель. Примеры.
- •Свойства определителя: Изменение определителя при перемене местами двух строк. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строчками. Примеры.
- •Элементарные преобразования матрицы. Их свойства. Трапециевидный вид матрицы. Примеры.
- •Свойства определителя: Поведение определителя матрицы при элементарных преобразованиях строчек матрицы. Примеры.
- •Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Примеры.
- •Определитель Вандермонда. Определение и простейшие свойства. Примеры.
- •Определение системы линейных уравнений. Решение слу. Равносильность. Совместимость. Матричная запись слу. Простейшие свойства и примеры.
- •Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Примеры.
- •Теорема Кронекера-Капелли. Примеры.
- •Продуктивные матрицы в модели Леонтьева межотраслевого баланса. Критерий продуктивности. Примеры продуктивных и непродуктивных матриц.
- •Примеры составления задач на модель Леонтьева межотраслевого баланса.
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы. Характеристический многочлен матрицы и его свойства. Примеры.
- •Модель международной торговли. Условия бездефицитности торговли. Примеры.
- •Пример нахождения отношений бюджетов стран для сбалансированности их международной торговли.
- •Определение и примеры векторных (линейных) пространств.
- •Подпространства в векторных пространствах. Простейшие свойства и примеры.
- •Система образующих или порождающее семейство векторов. Простейшие свойства. Примеры.
- •Линейная комбинация векторов, Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Определения и простейшие свойства. Примеры.
- •Базис и размерность векторного пространства. Три эквивалентных определения базиса. Свойства и примеры.
Матрицы
Определение и действия над матрицами. Простейшие свойства и примеры.
С уммой A+B матриц размера m*n и
называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B:
П роизведением числа и матрицы называется матрица , получающаяся из матрицы A умножением всех ее элементов на :
П ример:
П роизведением AB матрицы размера mхn и матрицы размера nхk называется матрица размера mхk , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B:
П ример:
Простейшие свойства:
А+В = В+А
(A+B)+C = A+(B+C)
λ(A+B) = λA + λB
A*(B+C) = A*B + A*C
(A+B)*C = A*C + B*C
λ(A*B)=(λA)*B=A*(λB)
А*(В*С)=(А*В)*С - ассоциативность
Ассоциативность умножения матриц. Примеры.
Пусть А , В и С – три матрицы, для которых произведения АВ и ВС имеют смысл. Тогда произведения АВ и ВС имеют также смысл, и имеет место равенство:
(АВ)*С=А*(ВС)
Пример:
Некоммутативность умножения матриц. Примеры.
Матрицы называются некоммутативными, если
А*В ≠ В*А
Примеры:
Значение многочлена от матрицы. Простейшие свойства и примеры вычислений.
Если А – квадратная матрица n-го порядка и
многочлен m-й степени с вещественными коэффициентами, то выражение
где Е – единичная матрица порядка n, называется многочленом от матрицы А
Свойства:
Если f(x) + g(x) = q(x), то f(A) + g(A) = q(A)
Если f(x) * g(x) = q(x), то f(A) * g(A) = q(A)
f(A) * g(A) = g(A) * f(A)
Транспонирование матрицы. Единичная матрица. Простейшие свойства. Примеры.
Замена строк матрицы на её столбцы, а столбцов – на строки называется транспонированием матрицы.
С войства:
Пример:
Единичная матрица – Е квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные – нули.
Свойство: А*E=E*A=A
Пример:
Определители 2-го и 3-го порядков. Способы вычисления. Примеры.
Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (определителем матрицы А), называется число
Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице A , называется число
Способы вычисления:
Правило Саррюса
Метод приведения к треугольному виду
Матрица определителя приводится элементарными преобразованиями над строками (или столбцами) к верхнетреугольному виду.
Определитель полученной матрицы вычисляется как произведение диагональных элементов:
М етод понижения порядка
Минором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Справедливо следующее равенство
Разложение определителя по i-ой строке
Метод рекуррентных соотношений
Метод позволяет выразить данный определитель, преобразуя его (например, разлагая по строке или столбцу), через определитель того же вида, но более низкого порядка.