5 Ряды в комплексной области
5.1 Числовые ряды
Рассмотрим ряд с комплексными членами
. (58)
Теорема. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда:
( )
( )
Определение. Ряд (58) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
(59)
Ряды ( ), ( ) и (59) являются рядами с действительными членами, и вопрос об их сходимости решается с помощью известных признаков сходимости рядов в действительной области.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .
а) имеем . Таким образом, вопрос о сходимости данного ряда сводится к вопросу о сходимости рядов с действительными членами и . Так как каждый из рядов сходится абсолютно, то и данный ряд сходится абсолютно;
б) приведем другое решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость, для чего составим ряд – этот ряд сходится абсолютно.
Пример 2. Исследовать поведение ряда .
Так как ряд расходится, то расходится и исходный ряд.
5.2 Степенные, сходящиеся к ним и двусторонние ряды
Определение 1. Ряд вида
, (60)
где – комплексные постоянные, a – комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области.
Определение 2. Ряд вида
(61)
называется степенным рядом общего вида.
Определение 3. Ряд вида
(62)
называется рядом, сходящимся к степенному общего вида.
Определение 4. Двусторонним называется ряд вида
. (63)
Область сходимости степенного ряда (58) есть круг с центром в начале координат: , где – радиус сходимости. В некоторых cлучаях он может быть определен по формулам
а) ; б) . (64)
Для рядов (61) областью сходимости служит круг . Область сходимости ряда (62) ищется после проведения замены: . Ряд вида (63) сходится в области, в которой сходятся ряды
(65)
(66)
Пусть ряд (65) сходится в области , т.е. вне круга с центром в точке и радиуса , а ряд (66) в круге . Тогда, если: 1) , то ряд (63) расходится всюду; 2) , то ряд (63) сходится в кольце . Здесь , .
Пример 1. Найти радиус сходимости степенного ряда .
Находим модуль коэффициента . Применяя формулу б) из (64), находим .
Пример 2. Найти область сходимости ряда .
Имеем , и
. Следовательно, ряд сходится в области , т.е. вне круга с центром в точке радиуса .
Пример 3. Определить область сходимости ряда .
Для ряда имеем .
Следовательно, . Первый ряд сходится в области . Для степенного ряда имеем , . Его радиус сходимости , т.е. второй ряд сходится в области . Данный ряд расходится всюду.
Пример 4. Определить область сходимости ряда .
Для первого из рядов имеем , Следовательно, . Первый ряд сходится в области . Для второго ряда имеем . Радиус его сходимости – он сходится в области . Таким образом, данный ряд сходится в кольце .
5.3 Ряды Тейлора и Лорана
5.3.1 Ряд Тейлора
Однозначная и аналитическая в точке функция разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд – ряд Тейлора
, (67)
где коэффициенты вычисляются по формулам
. (68)
Здесь – окружность с центром в точке , целиком лежащая в области аналитичности . Областью сходимости ряда является круг c центром в точке разложения радиуса . Этот радиус равен расстоянию от центра разложения до ближайшей особой точки – точки, в которой теряет аналитичность. В круге сходимости этого ряда суммой его является функция .
Теорема Тейлора. Функция , аналитическая в круге , однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (67), коэффициенты которого определяются по формулам (68).
Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцирования степенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд Тейлора. При ряд (67) называется рядом Маклорена.
При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:
1) 2) , 3) , 4) 5) ; 6) ; 7) ; 8) . |
(69) |
Пример 1. Разложить в ряд по степеням функцию .
Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции: . Воспользуемся разложением 4) из (69) для , полагая . Так как разложение 4) имеет место при , то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, для .
Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.
Пример 2. Разложить в ряд по степеням функцию .
Разложим на простейшие дроби: .
По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (69) получаем:
и .
замечая, что , и применяя теорему о возможном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости получаем:
.
Складывая ряды для и , получаем .