4) Эпюры внутренних усилий и порядок их построения.

Графики, показывающие изменение внутренних усилий по длине бруса при постоянном положении нагрузок, называются эпюрами.

При построении эпюр рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1. Находят все внешние силы, действующие на брус (активные и ре­активные).

2. Разбивают брус на участки, в пределах которых внутренние усилия изменяются по одной закономерности.

Участком называется часть стержня между сосредоточенными нагруз­ками М, F или часть стержня, в пределах которого распределенная нагрузка q меняется по одному закону.

3. На каждом участке проводят произвольное сечение и фиксируют его абсциссой z.

4. Применяя метод сечений, для каждого участка составляют выра­жения для внутренних усилий.

5. Меняя значение z, находят внутренние усилия на границах участков и в характерных сечениях.

6. Параллельно оси бруса проводят ось (базу), на которой строят эпюру.

7. Ординаты эпюры в определенном масштабе откладывают от оси по перпендикуляру и проставляют значения характерных ординат.

8. В поле эпюры ставят знак усилия и наносят штриховку линиями, перпендикулярными к базе.

Эпюры внутренних усилий, как правило, строят для того, чтобы вы­явить опасные сечения, т.е. сечения, в которых существует большая ве­роятность разрушения из-за того, что там внутренние усилия достигают наибольших значений

5) Дифференциальные зависимости между q и n, Mz и m, Qy и Mx. Вывод этих зависимостей и применение.

Р ассмотрим стержень нагруженный продольной нагрузкой q. Выделим из стержня элемент длиной dz. На него будут дейст­вовать нагрузка q и продольные силы: в левом сечении N, в правом (N+dN), заменяющие действие отброшенных частей бруса, где dN - прира­щение продольной силы на участке dz. Составим уравнение равновесия для выделенного элемента: отсюда .

Производная от продольной силы по длине бруса равна интенсивности распределенной нагрузки q. По знаку производной можно судить о росте или убывании функции. Если q > О, то продольная сила убывает. Зависимость используется при проверке правильности построения эпюры N.

Для Mz и m:

производная крутящего момента по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки.

Вырежем из балки бесконечно малый элемент dz. Действие левой и правой отброшенных частей балки заменим внутренними усилиями Qу и Мх, причем справа они имеют бесконечно малые приращения dQ и dM. Составим два уравнения равновесия: .

После преобразований находим дифференциальные зависимости. Из первого уравнения:

производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

Из второго слагаемого, пренебрегая величиной второго порядка малости q(dz)²/2, имеем: производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе.

Сравнив получаем

Полученные зависимости действительны, если рассматривает­ся часть балки левее сечения (если правее, то следует поставить минус). Эти зависимости используются при анализе различных вопросов, связан­ных с изгибом балок, в частности, при проверке правильности построения эпюр Qу и Мх.

Поперечное усилие из и изгибающий момент из можно пере­писать следующим образом:

Интегралы и есть площади соответственно эпюры внешней распределенной нагрузки q и эпюры поперечных сил Qy на рассматривае­мом участке.