7. Потенциал точечного заряда, системы точечных зарядов и непрерывного распределения зарядов.

Пусть заряд q находится в однородном электрическом поле. Сила, действующая на него постоянна (она равна произведению заряда на напряжённость, которая в однородном поле постоянна). Электростатическое поле потенциально, поэтому его работа зависит только от начального и конечного положения заряда, то есть от перемещения. Вычислим её и сравним с общей формулой работы.

A=FΔr=qEΔr=qE(r2-r1)=qEr2 - qEr1, отсюда

Wп=-qEr.

Направления радиус-вектора и вектора напряжённости зависит от выбора системы координат. Её естественно выбрать так, чтобы ось х была направлена так же, как и вектор напряжённости. Тогда

Wп=-qEx.

Если работа электрического поля положительна, то потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия увеличивается. На этом основано ускорение электронов в электронных лампах и электронно-лучевых трубках.

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна

q1q2

Wп=k——.

r

Вместо того, чтобы выводить эту формулу, вычислим с её помощью силу взаимодействия точечных заряженных тел; если получим закон Кулона, значит исходная формула верна. Пусть заряд q2 неподвижен, а заряд q1 перемещается на малое расстояние Δr=r2-r1, причём r1»r2 »r, тогда силу можно считать постоянной, а r1r2=r2.

A=FΔr=-(Wп2-Wп1),

q1q2 q1q2 r2-r1 q1q2Δr

FΔr=Wп1-Wп1=k—— - k——= kq1q2——=k———.

r1 r2 r1r2 r2

Сокращая на Δr, получаем закон Кулона, значит, приведённая выше формула потенциальной энергии взаимодействия точечных зарядов верна.

8. Связь потенциала электростатического поля с напряжённостью.

Напряжённость, силовая характеристика поля, и разность потенциалов, его энергетическая характеристика, связаны однозначно. Вычислим работу поля при малом перемещении заряда двумя способами:

A=qEΔlcosα=qElΔl; где α - угол между векторами напряжённости и перемещения, El - проекция напряжённости на перемещение.

A=-qΔφ.

Приравнивая, получаем:

ElΔl=-Δφ=U.

Зная напряжённость в каждой точке, можно вычислить разность потенциалов между любыми точками. Зная разность потенциалов между любыми точками, можно вычислить проекцию напряжённости на направление между ними.

El=-Δφ/Δl=U/Δl.

Отсюда следует,что напряжённость направлена в сторону убывания потенциала. Эта формула позволяет также определить вторую единицу напряжённости - вольт на метр (В/м). 1В/м=1Н/Кл.

При перемещении заряда под прямым углом к линиям напряжённости работа поля равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению. Следовательно, все точки поверхности, перпендикулярной в каждой точке линиям напряжённости имеют одинаковый потенциал. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Эквипотенциальные поверхности, как и силовые линии, позволяют наглядно представить электрическое поле.

Эквипотенциальные поверхности однородного поля - параллельные плоскости, точечного заряда - концентрические сферы. Поверхность любого проводника является эквипотенциальной, так как напряжённость направлена перпендикулярно ей. Потенциал всех точек внутри проводника одинаков, потому что, раз напряжённость поля в проводнике равна нулю, то равна нулю и разность потенциалов.

Разность потенциалов и напряжённость являются количественными характеристиками поля. Напряжённость более наглядна и указывает направление силы, действующей на заряд. Но разность потенциалов тоже имеет свои преимущества. Разность потенциалов легче измерить, чем напряжённость. Потенциал - скаляр, поэтому задаётся одним числом, а напряжённость - вектор, поэтому задаётся тремя числами - проекциями на оси кооординат. Многие процессы и величины (например, сила тока) определяются не силой, действующей со стороны поля, а его энергией и работой, то есть разностью потенциалов.