Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінних рядів

Означення. Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченне число як додатних, так і від’ємних членів.

Теорема (Коші). Якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду, то збігається і знакозмінний ряд, тобто

Означення. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається абсолютно, то його збіжність зумовлена достатнім спаданням за абсолютною величиною його членів.

Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то його збіжність зумовлена не тільки спаданням за абсолютною величиною його членів, але і взаємною компенсацією додатних і від’ємних членів ряду.

Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Означення. Ряд, кожний член якого відрізняється знаком від попереднього, називається знакопочерговим. Цей ряд має вигляд:

(9.9)

Загальний член ряду де .

Теорема (Лейбніца). Якщо члени знакопочергового ряду спадають за абсолютною величиною і границя абсо- лютної величини загального члена ряду дорівнює нулю, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

Наслідок 1. Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий само, як і знак першого члена ряду (на рис. ).

Геометрична інтерпретація

Наслідок 2. Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує першого члена ряду, тобто (на рис.) 0< S <a₁).

Наслідок 3. Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів, тобто .

Наслідок 4. Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца , то ряд розбігається (не виконується необхідна умова збіжності).

Якщо для знакопочергового ряду

існують границі

,

то при q < 1 ряд абсолютно збіжний, а при q > 1 — розбіжний.

Функціональні ряди Поняття функціонального ряду

Означення. Ряд

, (1) (9.10)

де членами ряду є функції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х₀ ряд (1) перетворюється на числовий

(2) (9.11)

Якщо ряд (2) збігається (розбігається), то кажуть, що при х=х₀ збігається (розбігається) функціональний ряд (1).

Означення. Усі значення аргументу х, при яких функціональний ряд збіжний, називаються областю збіжності функціонального ряду.

В області збіжності існує границя часткових сум функціонального ряду

,

де функція — сума ряду.

Ряд називається залишком ряду.

В області збіжності функціонального ряду виконується формула , де .

Означення. Ряд (2) збіжний для всіх х із області Х, називається рівномірно збіжним у цій області, якщо для будь-якого числа існує такий незалежний від х номер N, що при n > N виконується одночасно для всіх така нерівність:

Ознака Вейєрштрасса. Якщо ряд, складений із абсолютних величин членів функціонального ряду, для всіх мажорується одним і тим самим збіжним числовим рядом, то функціональний ряд буде рівномірно збіжним для

Властивості рівномірно збіжних рядів

1. Сума рівномірно збіжного ряду неперервних функцій є неперервна функція.

2. Якщо ряд (2) рівномірно збіжний на інтервалі (а; b) та існують границі

то виконується рівність

3. Якщо члени збіжного ряду (2) мають неперервні похідні для та ряд складений із похідних членів ряду (2) рівномірно збіжний для , то

4. Якщо члени ряду (2) неперервні, а сам ряд рівномірно збіжний для , то

У загальному випадку, при дослідженні на збіжність функціонального ряду використовується та сама методика, що і для знакозмінного ряду.

Степеневі ряди

Означення. Функціональний ряд

(1) (9.12)

називається степеневим рядом, його загальний член ; числа називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

Розглядають і більш загальний вигляд степеневого ряду

(2) (9.13)

Якщо в (2) візьмемо х – с = у, то дістанемо ряд типу (1), тому властивості ряду (1) неважко перефразувати і для ря- ду (2).