Система автоматизированного моделирования стрелового крана Монография Омск

A3y A3 A3ψ E;

	1	0	0	lx3			1	0	0	0			cosν3		sinν3	0	0
		1	0	0				1	0	0					cosν	0
A	0				; A		0				;	A	sinν				0
														3	3		. (3.1.5)
3x	0 0 1			0		3z	0 0 1 lz					3ν	0		0	1 0
										3
				1						1				0	0
	0 0 0						0 0 0									0 1

Матрица перехода от стрелы СГК к поворотной платформе:

				cosν3			sinν3		0	lx3
A A		A	A	sinν			cosν		0	0		(3.1.6)
					0	3	0	3	1	lz3	.
3	3x	3z	3ν
					0		0		0	1

Матрицы для перехода от системы координат выдвижной части стрелы СГК O4X4Y4Z4 к системе координат стрелы O3X3Y3Z3 имеют вид:

A4y A4z A4 A4ν A4ψ E;

	1	0	0	x4
A	0	1	0	0	.
4x	0	0	1	0
		0	0	1
	0

Матрица перехода от выдвижной части стрелы к стреле:

			1	0	0	x4
A А		х	0 1		0	0	.
4	4		0	0	1	0
				0	0	1
			0

(3.1.7)

(3.1.8)

Матрицы переноса и вращения для перехода от системы координат троса, крюковой обоймы и груза СГК O5X5Y5Z5 к системе координат выдвижной части стрелы O4X4Y4Z4 имеют вид:

50

А5х A5y E;

				1	0	0	0						1		0		0	0
		A		0	1	0	0						0		cos		sin	0
					0	1	z		; A						1		1	;
		5z		0						1			0		sin		cos	0
					0	0		5							1		1
				0			1						0		0		0	1
	cosν5				sinν5 0			0						cosψ5		0	-sinψ5 0
A	sinν				cosν		0		0		A				0	1	0	0
		0		5	0	5	1		;							0	cosψ5	. (3.1.9)
5ν									0			5ψ		sinψ5				0
		0			0		0								0	0	0
								1										1

Матрица перехода от системы координат O5X5Y5Z5 к системе координат O4X4Y4Z4:

	cosν5 cosψ5					sinν5		cosν5 sinψ5			0
cos sinν cosψ								cos sinν sinψ
	5	5		5		cos cosν		5	5	5	0
	sin 5 sinψ5					5	5	sin 5 cosψ5
A5 sin sinν cosψ								sin sinν sinψ				.(3.1.10)
	5	5	5			sin cosν		5	5	5	z
	cos 5 sinψ5					5	5	cos 5 cosψ5			5
						0					1
		0							0

Полученные уравнения геометрических связей позволяют получить уравнения кинематики механической подсистемы СГК.

3.1.4. Линеаризация уравнений геометрических связей механической подсистемы стрелового грузоподъемного крана

Для получения линеаризованных уравнений типа (2.2.19) необходимо продифференцировать полученные в п. 3.1.3. уравнения геометрических связей механической подсистемы СГК с помощью дифференцирующих матриц (2.2.20).

Для принятой обобщенной расчетной схемы СГК матрицы Uij имеют вид:

51

U1_1 Ez A1z A1 A1 ;

U1_2 A1zE A1 A1 ;

U1_3 A1z A1 E A1 ;

U1_4 U1_5 U1_6 U1_7 U1_8 U1_9 U1_10 E0

U2_1 U1_1A2;

U2_2 U1_2A2;

U2_3 U1_3A2;

U2_4 A1A2x A2zE A2 ;

U2_5 U2_6 U2_7 U2_8 U2_9 U2_10 E0;

U3_1 U2_1A3;

U3_2 U2_ 2A3;

U3_3 U2_3A3;

U3_4 U2_ 4A3;

U3_5 A1A2A3x A3zE A3 ;

U3_6 U3_7 U3_8 U3_9 U3_10 E0;

U4_1 U3_1A4;

U4_ 2 U3_ 2A4;

U4_3 U3_3A4;

U4_ 4 U3_ 4A4;

U4_5 U3_5A4;

U4_6 A1A2A3Ex A4x ;

U4_7 U4_8 U4_9 U4_10 E0;

U5_1 U4_1A5;

U5_2 U4_ 2A5;

U5_3 U4_3A5;

U5_4 U4_ 4A5;

U5_5 U4_5A5;

U5_6 U4_6A5;

52

U5_7 A1A2A3A4A5xEz A5z A5 A5 A5 ;

U5_8 A1A2A3A4A5xA5zE A5 A5 A5 ;

U5	_9 A1A2A3A4A5x A5z A5 E A5 A5 ;	(3.1.11)
U5_10 A1A2A3A4A5xA5z A5 A5 E A5 .

где Е0 – нулевая матрица размером 4х4.

Полученные уравнения кинематики механической подсистемы СГК позволяют определять положение, скорость и ускорение элементов СГК в локальной и в инерциальной системе координат.

3.1.5. Уравнения геометрических связей и скоростей упруговязких элементов механической подсистемы стрелового грузоподъемного крана

Введем матрицы перехода Гu, u=1, 2, . . . , k; k=11 динамических связей, обеспечивающих переход из систем координат подвижных концов упруговязких элементов в системы координат неподвижных концов.

Для принятой расчетной схемы для четырех тел Фохта, характеризующих гидроцилиндры выносных опор, имеем

Г1 Г2 Г3 Г4

A1.

(3.1.12)

Для тела Фохта, характеризующего поворот поворотной платформы:

Г5 A2.

(3.1.13)

Для тел Фохта, характеризующих гидроцилиндры подъемаопускания стрелы и выдвижения секции стрелы:

Г6 A3, Г7

A4.

(3.1.14)

Груз на тросе представим в виде маятника с тремя степенями свободы. Для нахождения значений жесткостей с9, с10 и с11 представим маятник расчетной схемой (рис. 3.3).

53

l		Для принятой расчетной схемы маятника имеем:
		M Cγ;
L
C		M l F;
b		l L sinγ L γ;	(3.1.15)
F		F mg;

mg L γ Cγ,

Рис. 3.3. Расчет-

ная схема груза где m – масса груза с крюковой обоймой, L – радиус инерции маятника.

Из формул (3.1.15) выводим выражения для нахождения жесткости С:

C mg L

(3.1.16)

Для тел Фохта, характеризующих груз на тросе:

Г9 D A5; Г10 D A5; Г11 D A5.

(3.1.17)

где D ,D ,D – матрицы, ограничивающие повороты упруговязких

элементов вокруг координатных осей OX, OY, OZ и имеющие вид

[20]:

	0	0	0	0
D	0	1	0	0 ;
	0	0	1	0
		0	0
	0			1
	1	0	0	0
D	0	1	0	0 ;
	0	0	0	0
		0	0
	0			1

54

	1	0	0	0
D 0		0	0	0 .	(3.1.18)
	0	0	1	0
		0	0
	0			1

Для тела Фохта, характеризующего трос:

Г8 Dz A5,

(3.1.19)

где Dz – матрица, ограничивающая смещение упруговязких элементов координатной осью OZ и имеющая вид:

		0	0	0	0
D	z	0	0	0	0 .	(3.1.20)
		0	0	1	0
			0	0
		0			1

Линеаризованные векторы малых отклонений и скоростей характерных точек подвижных концов упруговязких элементов будут иметь вид [99; 135]:

qj

Ru

Muj

Rвu ;

(3.1.21)

j 1

Muj

Гu

;

(3.1.22)

qj

dR

dqj

R

u

M

R

W

R

;

(3.1.23)

dt

u

dt

j 1

uj

вu

u

вu

W M

dqj .

(3.1.24)

u

uj

j 1

dt

Для принятой обобщенной схемы грузоподъемного крана матрицы Muj будут иметь вид:

55

M1_1 U1_1;

M1_ 2 U1_ 2;

M1_3 U1_3;

M1_ 4 . . . M1_9

M2_1 U1_1;

M2_ 2 U1_2;

M2_3 U1_3;

M2_ 4 . . . M2_9

M3_1 U1_1;

M3_ 2 U1_ 2;

M3_3 U1_3;

M3_ 4 . . . M3_9

M4_1 U1_1;

M4_ 2 U1_2;

M4_3 U1_3;

M4_ 4 . . . M4_9

M1_10 E0;

M2_10 E0;

M3_10 E0;

M4_10 E0;

M5_1 . . . M5_3 E0; M5_4 A2x A2zE A2 ;

M5_5 . . . M5_9 M5_10 E0; M6_1 . . . M6_4 E0;

M6_5 A3x A3zE A3 ;

M6_6 . . . M6_9 M6_10 E0; M7_1 . . . M7_5 E0;

M7_6 Ex A4x;

M7_7 . . . M7_9 M7_10 E0; M8_1 . . . M8_6 E0;

M8_7 DzEz A5z A5 A5 A5 ; M8_8 Dz A5z E A5 A5 A5 ; M8_9 Dz A5z A5 E A5 A5 ;

56

M8_10 Dz A5z A5 A5 E A5 ;

M9_1 . . . M9_6 E0;

M9_7 D Ez A5z A5 A5 A5 ;

M9_8 D A5zE A5 A5 A5 ;

M9_9 D A5z A5 E A5 A5 ;

M9_10 D A5z A5 A5 E A5 ;

M10_1 . . . M10_6 E0;

M10_7 D Ez A5z A5 A5 A5 ;

M10_8 D A5zE A5 A5 A5 ;

M10_9 D A5z A5 E A5 A5 ;

M10_10 D A5z A5 A5 E A5 ;

M11_1 . . . M11_6 E0;

M11_7 D Ez A5z A5 A5 A5 ;

M11_8 D A5zE A5 A5 A5 ;

M11_9 D A5z A5 E A5 A5 ;

M11_10 Dψ A5z A5 A5νEψ A5ψ .

(3.1.25)

Полученные уравнения позволяют определять положение и скорости подвижных концов упруговязких элементов механической подсистемы СГК.

3.1.6. Уравнения динамики стрелового грузоподъемного крана

Наиболее универсальным и удобным для решения задач динамики системы с несколькими степенями свободы, где решение осложняется необходимостью анализа и синтеза совмещенной во времени работы механизмов при пространственном колебании груза, перемещаемого на гибком подвесе, является принцип Лагранжа в виде уравнений второго рода [20]:

d

K

K

P

Ф

Qj

, (j=1, 2, . . . , l),

(3.1.26)

q

q

q

q

dt

j

j

j

j

57

где t – время; qj – j-я обобщенная координата; K – кинетическая энергия; qj – скорость по j-ой обобщенной координате; P – потенци-

альная энергия; Ф – диссипативная функция; Qj – обобщенная сила,

действующая по j-ой обобщенной координате.

Кинетическую энергию грузоподъемного крана определим как сумму кинетических энергий каждого звена, обладающего инерционными свойствами [20]

k	(3.1.27)
K Ki , (i=1,2 ,..., k).

i 1

Каждое звено рассматривается как совокупность множества бесконечно малых точек с элементарными массами dm, координатами Ri , заданными в локальной системе координат i-го звена и соответствующими элементарными кинетическими энергиями dKi, которые находятся по формуле [20]

		1				2
	dKi			R	0i	dm.	(3.1.28)
	2

Квадрат модуля вектора изменения положения i-й точки в инерциальной системе координат определится как «трасса», то есть сумма диагональных элементов, матрицы размера 4х4 [20]:

					;	(3.1.29)
	R	2	tr R	RT
	0i		0i	0i
Учитывая, что в линеаризованном виде						по формулам (2.2.19) с

учетом правил перемножения сцепленных матриц уравнение (3.1.28) примет вид [20]:

1

Т

Т

dK

i

tr

U

ij

q

j

R R

U

ij

q

dm.

(3.1.30)

2

i

i

j

j 1

j 1

Полная кинетическая энергия звена может быть получена интегрированием элементарных энергий всех элементарных точек звена

[20]:

58

1

Т

Т

K

i

tr

U

ij

q

R R

dm

U

ij

q

.

(3.1.31)

2

j

i

i

j

j 1

m

j 1

Обозначив Hi

Ri RiT dm,

(3.1.32)

m

получим выражение для Hi [20]:

	x2dm	x y	dm	x	z	dm	x	dm
(m) i		(m) i i		(m) i	i		(m) i
	xi yidm	yi2dm		yi zidm			yidm
Hi (m)		(m)		(m)			(m)
	xi zidm	yi zidm		zi2dm			zidm
(m)		(m)		(m)			(m)
	xidm	yidm		zidm			mi
(m)		(m)		(m)

	1
			( Jix Jiy Jiz )		Jixy		Jixz	Ximi
		2
				1
			Jixy		(Jix Jiy Jiz )		Jiyz	Yimi
				2
						1
			Jixz		Jiyz		( Jix Jiy Jiz )	Zimi
						2
			Ximi		Yimi		Zimi
								mi

	1		2	2	2
			( ρ ix	ρ iy ρ iz)
		2
			ρ2ixy
m
i
			2
			ρ ixz
			Xi

ρ2ixy

1(ρ2ix ρ2iy ρ2iz)

2

ρ2iyz

Yi

	ρ2ixz
		Xi
	ρ2iyz
		Yi		(3.1.33)
1
	(ρ2ix ρ2iy ρ2iz)	Zi
2
	Zi	1

где Jix ,Jiz ,Jiy ,Jixy ,Jixz ,Jiyz – осевые и центробежные моменты инерции i-го звена относительно осей локальной системы координат этого звена; ix, iy, iz ixy, ixz, iyz – радиусы инерции звена и центробежные радиусы инерции; Xi, Yi, Zi – координаты центра масс i-го звена в локальной системе координат этого звена.

Для СГК, представленного расчетной схемой (рис.3.1), имеющей l=10 обобщенных координат, k=5 материальных точек с массами mi полная кинетическая энергия системы будет иметь вид [20]:

59