4.3. Определение параметров квадратичной зависимости.

Пример 4.1.

Дана таблица экспериментальных данных:

x	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
y	1	2	4	7	11	16	22	29	37	46

Определить вид и параметры зависимости y=F(x).

Решение:

а) Построим график зависимости У от Х по заданным точкам.

б) Докажем аналитически, что данная зависимость не линейная. Для этого вычислим , если они не имеют близкие между собой значения, проверим значения .

Если значения близки между собой значения, то данная зависимость квадратичная, т.е. .

Расчетная таблица выглядит следующим образом:

n	x	y	p1	p2
1	0,5	1	2	2
2	1	2	4	2
3	1,5	4	6	2
4	2	7	8	2
5	2,5	11	10	2
6	3	16	12	2
7	3,5	22	14	2
8	4	29	16	2
9	4,5	37	18
10	5	46

Перейдем к линейной зависимости . Для этого вычтем из уравнения, записанного для i – й пары точки, уравнение, записанное для первой пары точки . Получим , где i не равно 1.

Обозначим и .

В таблицах EXCEL это будет выглядеть так:

n	x	y	p1	p2
1	0,5	1	2	2	t	Z
2	1	2	4	2	1,5	2
3	1,5	4	6	2	2	3
4	2	7	8	2	2,5	4
5	2,5	11	10	2	3	5
6	3	16	12	2	3,5	6
7	3,5	22	14	2	4	7
8	4	29	16	2	4,5	8
9	4,5	37	18		5	9
10	5	46			5,5	10

Для определения параметров зависимости методом наименьших квадратов следует добавить в таблицу два столбца и вычислить суммы

n	x	y	p1	p2
1	0,5	1	2	2	t	z	t^2	t*Z
2	1	2	4	2	1,5	2	2,25	3
3	1,5	4	6	2	2	3	4	6
4	2	7	8	2	2,5	4	6,25	10
5	2,5	11	10	2	3	5	9	15
6	3	16	12	2	3,5	6	12,25	21
7	3,5	22	14	2	4	7	16	28
8	4	29	16	2	4,5	8	20,25	36
9	4,5	37	18		5	9	25	45
10	5	46			5,5	10	30,25	55
				Суммы	31,5	54	125,25	219

Матрица коэффициентов			Св.чл.
125,25	31,5		219
31,5	9		54
Обратная матрица			Решение
0,0667	-0,2333	а=	2
-0,2333	0,92778	b=	-1

Из уравнения можно определить

Проверка

x	y	F(x)
0,5	1	1
1	2	2
1,5	4	4
2	7	7
2,5	11	11
3	16	16
3,5	22	22
4	29	29
4,5	37	37
5	46	46

Ответ: