30 Принцип дополнительности Бора

Анализируя соотношения неопределенностей, Бор выдвигает принцип дополнительности, согласно которому точная локализация микрообъекта в пространстве и времени и точное применение к нему динамических законов сохранения исключают друг друга. Бор показал, что из-за соотношения неопределенностей корпускулярная и волновая модели описания поведения квантовых объектов не входят в противоречие друг с другом, потому что никогда не предстают одновременно. В одном и том же эксперименте не представляется возможным одновременно проводить измерения координат и параметров, определяющих динамическое состояние системы, например, импульса. Если в одной экспериментальной ситуации проявляются корпускулярные свойства микрообъекта, то волновые свойства оказываются незаметными. В другой экспериментальной ситуации, наоборот, проявляются волновые свойства и не проявляются корпускулярные. То есть в зависимости от постановки эксперимента микрообъект показывает либо свою корпускулярную природу, либо волновую, но не обе сразу. Эти две природы микрообъекта взаимно исключают друг друга, и в то же время должны быть рассмотрены как дополняющие друг друга. Если вернуться к рассмотренному нами опыту с двумя отверстиями, то, согласно Бору, мы имеем две различные экспериментальные ситуации: одну — с одним открытым отверстием, когда точно известна координата электрона, и поведение электрона соответствует поведению частицы; и вторую — с двумя открытыми отверстиями, в которой появляется интерференционная картина на экране, по которой мы определяем импульс, и поведение электрона сопоставляем с волной. То есть говорить об электроне как об индивидуальной «себетождественной» частице вне зависимости от конкретной экспериментальной ситуации,

в которой он проявляет свои свойства, не имеет физического смысла. Это составляет сформулированный Бором принцип физической целостности при описании объектов микромира. Выделим суть принципа дополнительности Бора.

Вся информация о микрообъектах может быть получена с помощью только макроприборов, работающих в определенных диапазонах, позволяющих довести эту информацию, в конечном итоге, до органов чувств познающих субъектов. Макроприборы подчиняются законам классической физики и должны переводить информацию о явлениях в микромире на язык понятий классической физики. Следовательно, любое явление в микромире не может быть проанализировано как само по себе отдельно взятое, а обязательно должно включать в себя взаимодействие с классическим микроскопическим прибором. С помощью конкретного макроскопического прибора мы можем исследовать либо корпускулярные свойства микрообъектов, либо волновые, но не и те, и другие одновременно. Обе стороны предмета должны рассматриваться как дополнительные по отношению друг к другу.

31 Волновая функция    Наличие у частицы волновых свойств приводит к тому, что в квантовой физике ей сопоставляется волновая функция  (x,y,z,t).     Физический смысл волновой функции. Величина | (x,y,z,t)|2dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).     Волновая функция системы невзаимодействующих частиц  (r1,r2,...rn,t) связана с одночастичными волновыми функциями  i(ri,t) соотношением

(r1,r2,...rn,t) =  1(r1,t)· 2(r2,t)·... n(rn,t).

Свойства ф-ции- однозначной (на вопрос о вероятности пребывания электрона в данной области пространства должен быть только один определенный ответ),

- конечной (вероятность не может принимать бесконечные значения),

- непрерывной (вероятность обнаружения электрона должна быть доступной для оценки в любой точке пространства),

- нормированной, т.е. суммирование ее значений по всему пространству должно дать единицу: ведь где-нибудь в пространстве электрон, безусловно, существует!

32  Уравнение Шредингера       Как, зная структуру силового поля, в котором движется частица, определить волновую функцию, описывающую квантовомеханическое состояние этой частицы? Как, зная волновую функцию в начальный момент времени, описать эволюцию волновой функции во времени? Ответы на эти вопросы дает основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, сформулированное Э.Шредингером в 1926 г.

      Общее временное уравнение Шредингера, позволяющее определить в любой момент времени волновую функцию   для частицы массы  , движущейся в силовом поле  , описываемом скалярной потенциальной функцией  , имеет вид

.

(3.8)

      Здесь   - мнимая единица, а   - рационализированная постоянная Планка. Стандартным символом   в (3.8) обозначен дифференциальный оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид

.

(3.9)

      В общем случае в задачах квантовой механики дифференциальное уравнение в частных производных (3.8) должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий на волновую функцию.

      Начальное условие задает значение волновой функции в начальный момент времени  .

      Граничные условия являются следствием регулярности волновой функции, обеспечивая, в частности, ее непрерывность. Эти условия формулируются на границах областей, где потенциальная функция  терпит разрывы первого или второго рода. Сюда же относятся условия на волновую функцию в бесконечно удаленных точках пространства, которые обеспечивают выполнение условия нормировки (3.4).

      Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения электродинамики Максвелла и другие основные физические уравнения, не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого доказывается согласием результатов расчетов, выполненных с помощью уравнения Шредингера, с данными экспериментов. Такое согласие установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике. Квантовые эффекты, предсказанные с помощью уравнения Шредингера, лежат в основе многих технических устройств, приборов и технологий.

33 . Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" Такая "яма" описывается п отенциальной энергией вида

При таком условии частица не проникает за

пределы "ямы", т. е. y(0)= y(l)=0. (27)

 (22)

В пределах ямы (0<x<l) уравнение (22) сведется к уравнению

или (28)

где k2= . Общее решение (28) y(х)=Аsinkx+Bcoskx (29) Так как согласно (27) ψ(0)=0, то В=0, тогда y(х)=Аsinkx .(30) Условие (27) y(l)=Аsinkl=0 выполняется только при kl=pn, где n=1,2...целые числа, т.е. необходимо, чтобы k=pn/l. (31) Из (29) и (31) следует, что

 (32) Таким образом, энергия в "потенциальной яме" принимает лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а числоn, определяющее энергетические уровни, называется главным квантовым числом.

34    Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 298, а) для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямо­угольной формы высоты U и ширины l можем записать

П ри данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при Е>U), либо отразится от него (приЕ<U) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при Е>U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E<U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х>1, т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при условиях данной задачи

Общие решения этих дифференциальных уравнений:

      (221.2)           

      (221.3)

В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), будет иметь вид

  

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфи­ческому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в резуль­тате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрач­ности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Можно показать, что