- •Кривые второго порядка
- •§ 3.1. Окружность.
- •§ 3.2. Эллипс
- •Для построения дуги эллипса, лежащей в I четверти, надо в правой части (3.14) взять знак плюс и изменять X только от 0 до a:
- •Рассмотрим теперь уравнение
- •§ 3.3. Гипербола
- •§ 3.4. Парабола
- •При парабола будет направлена в положительном направлении соответствующей оси координат, а при – в отрицательном.
- •§ 3.5. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
- •§ 3.7. Поворот осей координат
- •§ 3.9. Исследование общего уравнения кривой второго порядка Наиболее общее уравнение второй степени относительно и имеет вид:
- •В случае уравнения (3.54) этот вариант равен произведению , поскольку . Значит, , т. Е. Можно определить тип кривой второго порядка непосредственно по коэффициентам общего уравнения (3.49)
При парабола будет направлена в положительном направлении соответствующей оси координат, а при – в отрицательном.
§ 3.5. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
Эллипс, гипербола и парабола были известны греческим геометрам более 2000 лет назад. Первое, наиболее полное сочинение, посвященное этим кривым, принадлежит Аполлонию и относится к III веку до начала нашего летоисчисления. Аполлоний дал и названия этим кривым в связи с геометрической задачей о превращении данного прямоугольника в равновеликий прямоугольник с заданным основанием.
Древнегреческие математики изучали эти кривые, конечно, не при помощи аналитической геометрии, еще не существовавшей в ту эпоху, а методами той, уже широко в то время разработанной геометрии, которую теперь называют элементарной. Сами эти кривые первоначально греки получили как сечения прямого круглого конуса плоскостями, наклоненными под разными углами к его оси; поэтому эти кривые называют коническими сечениями.
Можно доказать (мы этого делать не будем, отсылая интересующихся к более полным курсам аналитической геометрии), что, проводя плоскость, параллельную двум образующим конуса (она пересекает обе полости конуса), получим в сечении гиперболу; пересекая конус плоскостью, угол которой к оси конуса равен углу между образующей конуса и его осью (такая плоскость пересекает только одну полость конуса), получим параболу; наконец пересекая конус плоскостью, угол наклона которой к оси конуса больше, чем угол между образующей и осью, получим эллипс, а в частном случае, когда этот угол будет прямой, – окружность (рис. 3.9). Во всех этих случаях секущая плоскость не должна проходить через вершину конуса.
Примеры.
1. ; .
Дополняем члены с и до полных квадратов и переносим свободный член в правую часть равенства:
Деля на 16 приходим к уравнению эллипса:
(рекомендуется читателю самостоятельно построить кривые и найти координаты их фокусов в примерах 1, 4, 5, 8). Его центр ; полуоси , .
2. ; .
Это уравнение с помощью тех же преобразований, что и в примере 1, приводится к виду и определяет единственную точку .
3. ; .
Уравнение приводится к виду:
,
или
.
Это уравнение мнимого эллипса.
4. ; .
Дополняя члены с и до полных квадратов, получаем:
.
Деля на 12, приходим к уравнению гиперболы:
.
Центр гиперболы – ; полуоси: вещественная , мнимая ; вещественная ось параллельна оси .
5. ; .
Уравнение преобразуется к виду:
.
Это уравнение гиперболы с центром в точке , с вещественной полуосью и мнимой ; вещественная ось гиперболы параллельна оси .
6. ; .
После дополнения членов с и до полных квадратов приходим к уравнению:
.
Левая часть этого уравнения разлагается на множители и уравнение может быть записано в виде:
.
Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые: и .
7. ; .
Дополняя члены с до полного квадрата, приводим уравнение к виду:
.
Перенесем и свободный член в правую часть и вынесем в правой части за скобку коэффициент при (т. е. ):
.
Это уравнение параболы (3.38), где . Вершина параболы находится в точке , а осью симметрии служит прямая , параллельная оси ; парабола обращена в отрицательную сторону оси ; параметр параболы равен .
Для ее построения на чертеже полезно по исходному уравнению определить точки пересечения параболы с осями координат и использовать тот факт, что длина фокальной хорды параболы, перпендикулярной ее оси, равна (см. § 3.4).
В нашем случае с осью парабола не пересекается (при получаем для определения уравнение , имеющее комплексные корни), а ось она пересекает в точке (при для определения получаем уравнение , откуда ).
Фокус параболы находится в точке – на оси параболы, на расстоянии слева от ее вершины. Зная длину фокальной хорды и положение фокуса, можно определить еще две точки на нашей параболе: и . Использование всех этих данных дает нам возможность построить заданную параболу (рис. 3.13).
Директрисой этой параболы служит прямая , изображенная на чертеже пунктиром.
8. .
При помощи тех же преобразований, что и в предыдущем примере, приводим это уравнение к виду .
Это уравнение параболы (3.38'), где . Вершина параболы находится в точке ; осью параболы служит прямая , параллельная оси ; парабола обращена в положительную сторону оси .
9. .
Уравнение принадлежит к виду (3.39), но совсем не содержит одну из координат, а именно . Являясь квадратным уравнением относительно , оно определяет два значения : и ; таким образом, исходное уравнение в данном случае определяет две параллельные между собой и параллельные оси прямые.
Как мы уже указывали ранее, если бы в аналогичном случае (отсутствие одной из координат) корни уравнения были равными или комплексными, то соответствующее уравнение также определяло бы две параллельные прямые, но слившиеся в одну в первом случае и мнимые – во втором случае.
Например, уравнение определяет сдвоенную прямую , параллельную оси ; уравнение определяет две мнимые прямые:
и .
Рассмотренные нами ранее конкретные примеры 1-9 охватывают все возможные частные случаи, с которыми можно встретиться при преобразовании уравнения (3.39) к виду (3.36) – (3.38').