- •Глава VIII Интегральное исчисление функций одного переменного
- •П.1 Понятие первообразной
- •Геометрический смысл неопределенного интеграла
- •П.2 Свойства неопределенных интегралов
- •П.3 Таблица основных интегралов
- •П. 4 Общие методы интегрирования
- •П. 5 Конструкция определенного интеграла
- •П. 6 Суммы Дарбу и их свойства
- •Свойства сумм Дарбу
- •П. 8 Классы интегрируемых функций
- •П. 9 Свойства интегрируемых функций
- •П. 10 Свойства определенного интеграла
- •П 11. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему (нижнему) пределу. Формула Ньютона-Лейбница
- •П 12. Замена переменной в определенном интеграле
- •П 13. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •П 14. Вычисление площадей плоских фигур
- •14.1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах
- •14.2. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах
- •П 15. Вычисление длины кривой
- •П 16. Несобственный интеграл первого рода. Критерий Коши. Признаки сравнения.
- •П 17. Условная сходимость несобственного интеграла. Признак Абеля-Дирихле.
- •§11. Несобственный интеграл и ряд. Интегральный признак Коши сходимости ряда.
- •§12. Несобственный интеграл второго рода.
- •П 18. Главное значение несобственного интеграла.
П 14. Вычисление площадей плоских фигур
14.1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах
Пусть функция задана на отрезке .
Рассмотрим множество точек ,
которое можно истолковать как криволинейную трапецию .
Необходимо найти площадь этой криволинейной трапеции.
Исходя из определения определенного интеграла и его геометрического смысла, в том случае, когда площадь криволинейной трапеции равна
П р и м е р. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
Р е ш е н и е. Построим фигуру, ограниченную указанными линиями.
Площадь заданной фигуры вычислим по формуле (1)
Пусть функции и заданы на отрезке . Рассмотрим множество точек ,
которое можно истолковать как фигуру .
Площадь фигуры можно рассматривать как разность площадей
криволинейной трапеции и криволинейной трапеции
.
14.2. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах
Пусть положение любой точки на плоскости однозначно определяется двумя числами , где .
Пусть неотрицательная, непрерывная на отрезке функция, .
Рассмотрим множество точек
,
которое можно истолковать как криволинейный треугольник
Для вычисления площади криволинейного треугольника разобьём этот треугольник на элементарные криволинейные треугольники.
Элементарные криволинейные треугольники заменим прямоугольными треугольниками.
Высоты этих треугольников положим равными ,
а основания соответственно – .
Площадь -го элементарного треугольник очевидно будет равна
.
Площадь криволинейного треугольника будет приближённо равна
. (1)
Выражение (1) можно рассматривать как интегральную сумму для функции на отрезке .
Введём обозначение . – это мелкость
разбиения .
Тогда площадь криволинейного треугольника
получим при переходе в выражении (1) к пределу при
= . (2)
Итак, площадь плоской фигуры в полярной системе координат равна
.
П р и м е р. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривой (кардиоидой)
.
Р е ш е н и е. Изобразим график кардиоиды
Как видим, кардиоида представляет собой линию, симметричную относительно оси .
Поэтому
П 15. Вычисление длины кривой
Пусть кривая задана параметрически
, .
Разобьем отрезок на частей точками .
Обозначим через соответствующие точки на кривой . Соединим эти точки прямыми.
Полученную при этом ломанную называют ломанной, вписанной в кривую .
Длину элементарного звена равна
Длина ломанной в таком случае будет равна
. (1)
Обозначим через . Тогда длину кривой получим, перейдя в выражении (1) к пределу при
. (2)
Итак, длина кривой согласно выражению (2) определяется формулой
. (3)
Длина пространственной кривой , заданной параметрически
, ,
будет равна
.
Если плоская кривая задана в явном виде
, ,
то параметрические уравнения кривой
можно в этом случае представить в виде
, , .
В результате выражении (3) получается в виде
.
П р и м е р. Найти длину кривой, заданной параметрически .
Р е ш е н и е. Построим график заданной кривой
Так как кривая симметрична относительно координатных осей, то достаточно найти .
Поэтому длина кривой будет равна
.