Поступательное движение

1)Поступательное движение: движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям. Материальной точкой называется тело, размерами, которого можно пренебречь в данных условиях задачи, то есть размеры тела много меньше расстояния, с которого рассматривается это тело. Материальная точка имеет массу, но не имеет размера. Материальная точка это модель реального тела. Определение(траектория):это линия, вдоль которой движется тело. Бывают прямолинейные и криволинейные. Прямолінійним рівномірним рухом називають рух, при якому тіло(матеріальна точка) за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакове переміщення, або рух зі сталою швидкістю вздовж прямої. Величины, которыми характеризуют поступательное движение: 1.Путь - это длина траектории, скаляр, всегда положительна. 2.Перемещение - это вектор, соединяющий начальное положение тела с конечным. Поступательное движение бывает двух типов: равномерное и неравномерное. Определение(Равномерное движение)Равномерным, называется такое движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает равные перемещения. Определение(Неравномерное движение): неравномерным называется такое движение, при котором за равные промежутки времени тело совершает неравные перемещения.

3)Второй закон Ньютона можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в его главном труде «Математические начала натуральной философии».

Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила, то постоянным является и ускорение

,

где и — начальное и конечное значения скорости тела.

Подставив это значение ускорения во второй закон Ньютона, получим:

или . (1)

В этом уравнении появляется новая физическая величина — импульс материальной точки.

4)Импульсом материальной точки называют величину равную произведению массы точки на ее скорость.

Обозначим импульс (его также называют иногда количеством движения) буквой . Тогда

. (2)

Из формулы (2) видно, что импульс — векторная величина. Так как m > 0, то импульс имеет то же направление, что и скорость.

Единица импульса не имеет особого названия. Ее наименование получается из определения этой величины:

[p] = [m] · [υ] = 1 кг · 1 м/с = 1 кг·м/с . Изменение импульса системы тел

Рассмотрим систему, состоящую из трех тел. Это могут быть три звезды, испытывающие воздействие со стороны соседних космических тел. На тела системы действуют внешние силы (i — номер тела; например, — это сумма внешних сил, действующих на тело номер два). Между телами действуют силы называемые внутренними силами (рис. 1). Здесь первая буква i в индексе означает номер тела, на которое действует сила , а вторая буква k означает номер тела, со стороны которого действует данная сила. На основании третьего закона Ньютона

. (5)

Рис. 1

Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если за малый промежуток времени сила заметно не меняется, то для каждого тела системы можно записать изменение импульса в форме уравнения (3):

,

, (6)

.

Здесь в левой части каждого уравнения стоит изменение импульса тела за малое время Δt. Более подробно: где — скорость в начале, а — в конце интервала времени Δt.

Сложим левые и правые части уравнений (6) и покажем, что сумма изменений импульсов отдельных тел равна изменению суммарного импульса всех тел системы, равного

. (7)

Действительно,

.

Таким образом,

. (8)

Но силы взаимодействия любой пары тел в сумме дают нуль, так как согласно формуле (5)

.

Поэтому изменение импульса системы тел равно импульсу внешних сил:

. (9)

Мы пришли к важному выводу:

импульс системы тел могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы пропорционально сумме внешних сил и совпадает с ней по направлению. Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы.

Уравнение (9) справедливо для любого интервала времени, если сумма внешних сил остается постоянной.

4)Закон сохранения импульса

Из уравнения (9) вытекает чрезвычайно важное следствие. Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то равно нулю и изменение импульса системы: . Это означает, что, какой бы интервал времени мы ни взяли, суммарный импульс в начале этого интервала и в его конце один и тот же: . Импульс системы остается неизменным, или, как говорят, сохраняется:

. (10)

Закон сохранения импульса формулируется так:

если сумма внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, то импульс системы сохраняется.

Уравнение Мещерского

Выведем уравнение движения ракеты и найдем выражение для реактивной силы. Будем считать, что скорость вытекающих из ракеты газов относительно ракеты постоянна и равна . Внешние силы на ракету не действуют: она находится в космическом пространстве вдали от звезд и планет.

Пусть в некоторый момент времени скорость ракеты относительно инерциальной системы, связанной со звездами, равна (рис. 3), а масса ракеты равна М. Через малый интервал времени Δt масса ракеты станет равной

,

где μ — расход топлива (расходом топлива называется отношение массы сгоревшего топлива ко времени его сгорания).

Рис. 3

За этот же промежуток времени скорость ракеты изменится на и станет равной . Скорость истечения газов относительно выбранной инерциальной системы отсчета равна (рис. 4), так как до начала сгорания топливо имело ту же скорость, что и ракета.

Рис. 4

Запишем закон сохранения импульса для системы ракета — газ:

.

Раскрыв скобки, получим:

.

Слагаемым можно пренебречь по сравнению с остальными, так как оно содержит произведение двух малых величин (это величина, как говорят, второго порядка малости). После приведения подобных членов будем иметь:

или . (12)

Это одно из уравнений Мещерского для движения тела переменной массы, полученное им в 1897 г.

Если ввести обозначение , то уравнение (12) совпадет по форме записи со вторым законом Ньютона. Однако масса тела М здесь не постоянна, а убывает со временем из-за потери вещества.

Величина носит название реактивной силы. Она появляется вследствие истечения газов из ракеты, приложена к ракете и направлена противоположно скорости газов относительно ракеты. Реактивная сила определяется лишь скоростью истечения газов относительно ракеты и расходом топлива. Существенно, что она не зависит от деталей устройства двигателя. Важно лишь, чтобы двигатель обеспечивал истечение газов из ракеты со скоростью при расходе топлива μ. Реактивная сила космических ракет достигает 1000 кН.

Если на ракету действуют внешние силы, то ее движение определяется реактивной силой и суммой внешних сил. В этом случае уравнение (12) запишется так:

. (13)

Инерциальными системами отсчета называются такие системы, в которых свободные (т.е. не участвующие во взаимодействиях с другими телами) тела движутся без ускорения (т.е. равномерно и прямолинейно) или покоятся (состояние покоя, вообще говоря, следует рассматривать как частный случай равномерного движения с нулевой скоростью).

6)Работа, мощность, энергия

Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Различные формы энергии связывают с различными формами движения материи: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и пр. В одних случаях форма движения материи не изменяется (например, холодное тело нагревает горячее), в других - переходит в другую форму (например, механическое движение превращается в тепловое в результате трения). Однако существенно, что во всех перечисленных случаях энергия, отданная (в той или иной форме) от одного тела другому телу, равна энергии, которую получило последнее тело. Изменение механического движения тела вызывается силами, которые действуют на него со стороны других тел. С целью количественно описать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, составляющая некоторый угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна проекции силы F_s на направление перемещения (F_s= Fcosα), умноженной на соответствующее перемещение точки приложения силы: (1) Но на практике сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формула (1) непригодна. Однако, если рассмотреть данную ситуацию для элементарного перемещения dr, то силу F мы считаем постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина где α - угол между векторами F и dr; ds = |dr| - элементарный путь; F_s - проекция вектора F на вектор dr (рис. 1).

Рис.1

Если взять участок траектории от точки 1 до точки 2, то работа на нем равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Поэтому эту сумму можно привести к интегралу (2) Чтобы вычислить интеграл (2) надо знать зависимость силы F_s, от пути s вдоль траектории 1-2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 2), тогда искомая работа А равна на графике площадью заштрихованной фигуры. Если точка движется прямолинейно, сила F=const и α=const, то получим где s - пройденный телом путь (см. также формулу (1)).

Рис.2

Из формулы (1) следует, что при α<π/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F_s совпадает по направлению с вектором скорости точки (см. рис. 1). Если α>π/2, то работа силы отрицательна. При α= π/2 (сила и перемещение перпендикулярны) работа силы равна нулю. Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н•м). Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности: (3) За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная. Единица мощности - ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж)

7) Мірою зміни потенціальної енергії системи при її переході з одного стану в інший є робота консервативних сил. Оскільки мова йде про різницю значень потенціальної енергії, то нуль відліку потенціальної енергії – нульовий рівень потенціальної енергії, в кожній точці якого  , вибирають довільно, користуючись міркуваннями спрощення задачі. В зв’язку з цим потенціальна енергія може бути додатною, від’ємною та рівною нулю, тоді як кінетична енергія системи має завжди додатне значення.

Розглянемо зв’язок між зміною потенціальної енергії та роботою, яку виконують консервативні сили. Нехай, точка 0 є нульовим рівнем потенціальної енергії (рис. 2.18), в якій  . Тоді робота при переміщенні з точки 1 в точку 2 буде:

.

Але:

, та  .

Тоді:

,

або:

 .

 

Висновок: робота консервативної сили при переміщенні системи між 2-ма положеннями дорівнює зменшенню її потенціальної енергії.

Знайдемо зв’язок між силою та потенціальною енергією:

Через те, що механічна елементарна робота дорівнює:

,

та з, іншого боку, робота консервативних сил при елементарній зміні конфігурації системи дорівнює приросту потенціальної енергії, взятому зі знаком мінус, то робота здійснюється за рахунок зменшення потенціальної енергії:

,

тоді:

.

Звідси:

,

де   є сталою інтегрування, тобто потенціальна енергія визначається завжди з точністю до деякого значення.

Для консервативних сил:

 ,

де   – градієнт скаляра потенціальної енергії.

8)Закон збереження механічної енергії

У механіці, закон збереження енергії стверджує, що в замкненій системі часток, повна енергія, що є сумою кінетичної і потенціальної енергії не залежить від часу, тобто є інтегралом руху.

Закон збереження енергії справедливий тільки для замкнених систем, тобто за умови відсутності зовнішніх полів чи взаємодій.

Сили взаємодії між тілами, для яких виконується закон збереження механічної енергії називаються консервативними силами.

Закон збереження механічної енергії не виконується для сил тертя, оскільки за наявності сил тертя відбувається перетворення механічної енергії в теплову.

[ред.]Математичне формулювання

Еволюція механічної системи матеріальних точок з масами m_i за другим законом Ньютона задовольняє системі рівнянь

,

де   - швидкості матеріальних точок, а   - сили, що діють на ці точки.

Якщо подати сили, як суму потенціальних сил   і непотенціальних сил  , а потенціальні сили записати у вигляді

,

то, домножуючи усі рівняння на   і можна отримати

Перша сума в правій частині рівняння є ні чим іншим, як похідною по часу від складної функції, а отже, якщо ввести позначення

і назвати цю величину механічною енергією, то, інтегруюючи рівняння від моменту часу t=0 до моменту часу t, можна отримати

,

де інтегрування проводиться вздовж траекторій руху матеріальних точок.

2.5.3. закон збереження енергії у механіці. пружний та непружний удари тіл та частинок

Закон збереження енергії

Нехай на систему діють тільки консервативні сили, тоді робота на шляху з стану 1 в стан 2 буде:

 або  .

Прирівняємо:

,

або:

.

Сума   є повною механічною енергією системи.

Тоді закон збереження повної механічної енергії буде формулюватись таким чином:

повна механічна енергія системи, на яку діють тільки консервативні сили, при її русі з часом не змінюється, а може відбуватися лише перетворення кінетичної енергії в потенціальну:

 

 .

 

Пружний та непружний удари тіл та частинок

Закони збереження імпульсу та енергії можуть бути використані для встановлення співвідношень між різними величинами при зіткненні тіл. Розрізняють пружне та непружне зіткнення. Останнє супроводжується зміною внутрішньої енергії через пластичні деформації. У реальних системах зіткнення тіл тією чи іншою мірою є непружними вже хоча б тому, що супроводжуються деяким нагріванням тіл, що стикаються, і збільшенням кінетичної енергії теплового руху молекул.

У фізиці поняття про повністю пружні зіткнення відіграє важливу роль. З такими зіткненнями часто доводиться мати справу у фізиці елементарних частинок. У мікросвіті енергія сприймається і віддається тільки порціями – квантами. Тому є можливими абсолютно пружні зіткнення.

Удар є зіткненням двох або більше тіл, при якому взаємодія триває дуже короткий час. Удар називається центральним, якщо тіла до удару рухаються вздовж прямої, яка проходить через їхні центри мас. Надалі розглянемо тільки центральні абсолютно пружні та абсолютно непружні удари тіл замкненої системи.

1. Абсолютно пружний удар є зіткненням двох тіл, в результаті якого в обох тілах, що взаємодіють, не залишається ніяких деформацій і вся кінетична енергія, яку мали тіла до удару, після зіткнення знову перетворюється в кінетичну енергію.

Запишемо закони збереження імпульсу та енергії для прямого центрального удару, врахувавши, що вектори швидкостей тіл до ( ,  ) та після удару ( ,  ) лежать на прямій, яка з’єднує їх центри (рис. 2.21):

;

.

Після деяких математичних перетворень отримаємо таку систему рівнянь для швидкостей тіл після зіткнення:

;

.

Розглянемо декілька окремих випадків.

А . При   та  , тобто якщо друге тіло не рухалось до зіткнення. Тоді:

;

 

.

 

Отже, перше тіло після зіткнення зупиниться ( ), а друге буде рухатись з такою ж швидкістю і в тому ж напрямі, в якому рухалось перше тіло ( ).

Б. При  :

;

.

Тобто, тіла рівної маси „обмінюються” швидкостями.

2. Абсолютно непружний удар є зіткненням двох тіл, в результаті якого тіла об’єднуються та надалі рухаються як єдине ціле (рис. 2.22).

За законом збереження імпульсу для замкненої системи двох тіл з масами   та  можна записати:

,

звідки:

.

Проаналізуємо деякі випадки при абсолютно непружному зіткненні:

а) якщо тіла рухаються назустріч один одному, то разом вони будуть рухатись в ту сторону, в яку рухалось тіло, що мало більший імпульс;

б) якщо маси тіл рівні ( ), то:

.

Б ільш цікавим є перетворення енергії при абсолютно непружному центральному зіткненні. В цьому випадку закон збереження енергії не виконується, тобто внаслідок деформації відбувається „втрата” кінетичної енергії, яка переходить у теплову або інші форми енергії. Таку „втрату” можна визначати за різницею кінетичної енергії системи двох тіл до та після взаємодії:

.

Розглянемо такі випадки за умови, якщо перше тіло є нерухомим ( ):

а) якщо   (тобто маса нерухомого тіла є дуже великою), то  , що призводить до майже повного перетворення кінетичної енергії тіла при ударі в інші види енергії, тому, наприклад, для отримання значної деформації ковадло повинно бути набагато масивнішим за молот;

б) якщо  , то  , наприклад, при забивання цвяхів у стіну маса молотка повинна бути набагато більшою за масу цвяха, тоді практично вся кінетична енергія витрачається на переміщення цвяха, а не на залишкову деформацію.

Абсолютно непружний удар є прикладом того, як відбувається „втрата” механічної енергії під дією дисипативних сил.

 10) Моме́нт си́ли — векторна фізична величина, рівна векторному добутку радіус-вектора, проведеного від осі обертання до точки прикладення сили, на вектор цієї сили. Момент сили є мірою зусилля, направленого на обертання тіла.

Момент сили зазвичай позначається латинською літерою   і вимірюється в системі СІ в Н  м, що збігається із розмірністю енергії.

Момент сили  , яка діє на матеріальну точку із радіус-вектором   визначаєтся як

.

тобто є векторним добутком радіус-вектора   на силу  .

Момент сили - це вектор перпендикулярний, як до радіус-вектора точки, так і до сили, яка на цю точку діє. За абсолютною величиною момент сили дорівнює добутку сили на плече або

,

де α - кут між напрямком сили й радіус-вектором точки.

Момент сили адитивна величина, тобто момент сил, яка діють на систему матеріальних точок дорівнює сумі моментів сил, які діють на окремі точки системи.

Характерною властивістю момента сили є те, що в останню формулу входять лише зовнішні сили, а взаємодію матеріальних точок між собою можна не враховувати, оскільки згідно із третім законом Ньютона сили, які діють на пару точок рівні за величиною й обернені за напрямком. Враховуючи цей факт, легко показати, що плече таких сил дорівнює нулю.

Пара сил — система двух сил F₁ и F₂, действующих на твёрдое тело, равных друг другу поабсолютной величине, параллельных и направленных противоположно друг другу. Пара сил не имеет равнодействующей, то есть её действие на тело не может быть механически эквивалентнодействию какой-нибудь одной силы; соответственно пару сил нельзя уравновесить одной силой.

Расстояние r₁+r₂ между линиями действия сил пары называется плечом пары сил. Действие, оказываемое парой сил на твёрдое тело, характеризуется её моментом, который изображается вектором T, равным по абсолютной величине   и направленным перпендикулярно кплоскости действия пары сил в ту сторону, откуда поворот, совершаемый парой сил, виден происходящим против хода часовой стрелки (в правой системе координат). Основное свойство пары сил: действие, оказываемое ею на данное твёрдое тело, не изменяется, если пару сил переносить куда угодно в плоскости пары или в плоскости, ей параллельной, а также если изменить абсолютную величину сил пары и длину её плеча, сохраняя неизменным момент пары сил. Таким образом, момент пары сил можно считать приложенным к любой точке тела. Две пары сил с одинаковыми моментами T, приложенные к одному и тому же твёрдому телу, механически эквивалентны одна другой. Любая система пар сил, приложенных к данному твёрдому телу, механически эквивалентна одной паре сил с моментом, равным геометрической сумме векторов-моментов этих пар сил. Если геометрическая сумма векторов-моментов некоторой системы пар сил равна нулю, то эта система пар сил является уравновешенной

Основні поняття

Плече пари - найкоротший відрізок між лініями дії сил (відстань r₁+r₂), що складають пару.

Моментом пари сил називається вектор T, модуль якого дорівнює добутку однієї з сил пари на плече пари, напрямлений перпендикулярно до площини дії пари у той бік, звідки обертання пари сил видно проти ходу стрілки годинника.

[ред.]Властивості пари сил

1. Пара сил не має рівнодійної, тобто її дія на тіло не може бути механічно еквівалентною дії якоїсь однієї сили, відповідно, пару сил не можливо зрівноважити однією силою. ЇЇ можна зрівноважити тільки іншою парою.

2. Геометрична сума моментів сил, які складають пару, відносно будь-якої точки О не залежить від вибору цієї точки і дорівнює моменту пари сил:

3. Дві пари сил еквівалентні, якщо їх моменти геометрично рівні. Наслідком цієї властивості є те, що пару сил, яка діє на абсолютно тверде тіло, можна переміщати у площині її дії, або у паралельну площину, при цьому можна змінювати модулі сил або плече пари, але зберігати величину моменту і напрям обертання.

4. Система кількох пар, як завгодно розташованих у просторі, еквівалентна одній парі, момент якої дорівнює геометричній сумі моментів складових пар.

Умова рівноваги системи пар сил

Система кількох пар, як завгодно розташованих у просторі, еквівалентна одній парі, момент якої дорівнює геометричній сумі моментів складових пар:

11) Моме́нтом і́мпульсу називається векторна величина, яка характеризує інерційні властивості об'єкта, що здійснює обертальний рух відносно певної точки (початку координат).

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно початку координат в класичній механіці є величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора цієї частинки на її імпульс.

Відповідно,

• L -- кутовий момент

• r -- радіус-вектор частинки

• p -- імпульс частинки

Якщо фізична система складається з багатьох матеріальних точок, то результуючий момент імпульсу відносно початку координат є сумою (інтегралом) усіх моментів імпульсу складових системи.

Для багатьох практичних задач, які вивчають властивості об'єкта, що обертається навколо певної осі, достатньо проаналізуватискалярне значення момента імпульсу, який є додатним, якщо обертання відбувається проти годинникової стрілки та від'ємним, якщо навпаки.

Відповідно до визначення векторного добутку векторів, скаляр момента імпульсу визначається як:

де θ_r,p -- кут між r та p, який вимірюється від r до p; такий порядок обходу векторів при визначенні кута є принциповим. Якщо порядок змінити на зворотний, зміниться й знак.

Для тіла сталої маси, яке обертається навколо фіксованої осі, момент імпульсу можна визначити як добуток момента інерції тіла відносно цієї осі на його кутову швидкість:

де I -- момент інерції частинки, ω -- вектор кутової швидкості.

Закон збереження момента імпульсу

Момент імпульсу -- одна з фізичних величин, для якої діє фундаментальний закон збереження.

Назвемо замкненою (в сенсі обертання) таку систему, для якої сума моментів зовнішніх сил M дорівнює нулю. Для такої системи

та

.

Тобто, в замкненій системі момент імпульсу зберігається незмінним. Як випливає з теореми Нетер, таке твердження є наслідком ізотропності (тобто рівноцінності всіх напрямів) простору.

12)Момент инерции

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:    В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу    где интегрирование производится по всему объему тела. При этом величина r в есть функция положения точки с координатами х, у, z. В качестве примера будем искать момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 1). 

Рис.1

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции отдельного полого цилиндра dJ=r²dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrhdr. Если ρ-плотность материала, то dm=2πrhρdr и dJ=2πhρr³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра    но так как πR2h - объем цилиндра, то его масса m=πR2hρ, а момент инерции    Если мы знаем момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то мы можем найти и момент инерции относительно любой другой параллельной этой оси, который можно найти с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:    Приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).

13)Основне рівняння динаміки обертального руху

За аналогією з другим законом Ньютона для поступального руху, можна сформулювати рівняння обертального руху, де зовнішнім силам, які діють на тіло, відповідають  моменти сил, масі — момент інерції, а прискоренню — кутове прискорення.

При одновісному обертанні

Тут M_i — моменти зовнішніх сил,   — кутова швидкість,   — кутове прискорення.

Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементарных частей, масса каждой из которых равна Δmi и радиус вращения равен ri. Кинетическая энергия i-ой частицы равна:

    (1)

Кинетические энергии различных частиц различны, так как различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:

   (2) или

   (3)

Поскольку угловая скорость ω одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:

   (4)

Величина называется моментом инерции твердого тела. Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции частиц, составляющих это тело. Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела примет вид:

   (5)

Момент инерции не зависит от скорости вращения и характеризует инертность тела при вращательном движении: чем больше момент инерции, тем большую энергию необходимо сообщить телу для того, чтобы оно достигло заданной скорости. Значение момента инерции определяется не только его массой, но и распределением относительно оси вращения. Для тонкостенного цилиндра, толщина которого много меньше радиуса, момент инерции будет равен:

   (6)

Величину момента инерции можно рассчитать по формуле:

   (7)

Таким образом, момент инерции сплошного цилиндра равен:

   (8)

Момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс шара, равен:

   (9)

Для расчета момента инерции тела относительно оси, не проходящей через его центр масс, необходимо воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

   (10)

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

   (11), где β — тангенциальное ускорение.

14) Плоский рух - рух матеріальної точки в межах двовимірної площини. Загалом такий рух можна звести до суперпозиції поступального руху та обертання. Прикладом плоского руху може бути обертання планет навколо Сонця в площині екліптики.

В декартовій системі координат плоский рух описується залежністю від часу двох змінних   та  . Ці дві залежності задають у параметричній формі траєкторію матеріальної точки.

Плоский рух можна розглядати в полярній системі координат.

Нехай   — це радіус-вектор з координатами  , де r і θ залежать від часу.

Використовуючи одиничні вектори

у напрямку  , і

під прямим кутом до  , то перша і друга похідні положення будуть:

Похідна   задає швидкість віддалення матеріальної точки від початку координат, а похідна   визначає кутову швидкість.

Спеціальна теорія відносності (СТВ) — фізична теорія, опублікована Альбертом Ейнштейном 1905 року. Вона фактично замінює класичну механіку Ньютона, яка на той час була несумісною з рівняннями Максвелла з теорії електромагнетизму.

Спеціальна теорія відносності не поширює дію своїх принципів на гравітаційні сили, тому в 1916 році Ейнштейн опублікував нову — загальну теорію відносності, яка пояснювала природу гравітації.

17) Постулати спеціальної теорії відносності

1. Перший постулат (принцип відносності)

Всяка фізична теорія має бути незмінною математично для будь-якого інерціального спостерігача

Жодна з властивостей Всесвіту не може змінитись, якщо спостерігач змінить стан руху. Закони фізики залишаються однаковими для усіх інерціальних систем відліку.

2. Другий постулат (інваріантність швидкості світла)

Швидкість світла у вакуумі є однаковою для всіх інерціальних спостерігачів в усіх напрямах і не залежить від швидкості джерела випромінювання. Разом з першим постулатом, цей другий постулат еквівалентний тому твердженню, що світло не потребує жодного середовища (такого як ефір) для розповсюдження.

Перетворення Лоренца це лінійні перетворення координат, що залишають незмінним просторово-часовий інтервал. Перетворення Лоренца зв’язують координати подій в різних інерціальних системах відліку та мають фундаментальне значення в фізиці. Інваріантність фізичної теорії відносно перетворень Лоренца, або релятивістська інваріантність, є необхідною умовою достовірності цієї теорії.

Перетворення Лоренца в системах з паралельними осями

Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв’язує координати події в інерціальній системі відліку K з координатами тієї ж в події в системі K′, яка рухається відносно K зі швидкістю V вздовж осі x:

,

де x, y, z, t – координати події в системі K; x′, y′, z′, t′ – координати тієї ж події в системі K′; V – відносна швидкість двох систем; c– швидкість світла.

Зворотні формули (перехід від системи K′ до K) можна отримати заміною V → -V:

.

18) Перетворення Лоренца в системах з паралельними осями

Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв’язує координати події в інерціальній системі відліку K з координатами тієї ж в події в системі K′, яка рухається відносно K зі швидкістю V вздовж осі x:

,

де x, y, z, t – координати події в системі K; x′, y′, z′, t′ – координати тієї ж події в системі K′; V – відносна швидкість двох систем; c– швидкість світла.

Зворотні формули (перехід від системи K′ до K) можна отримати заміною V → -V:

.

21) Вам, возможно, доводилось испытывать странные физические ощущения в скоростных лифтах: когда лифт трогается вверх (или тормозит при движении вниз), вас придавливает к полу, и вам кажется, что вы на мгновение потяжелели; а в момент торможения при движении вверх (или старта при движении вниз) пол лифта буквально уходит у вас из-под ног. Сами, возможно, того не сознавая, вы испытываете при этом на себе действие принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс. Когда лифт трогается вверх, он движется с ускорением, которое приплюсовывается к ускорению свободного падения в неинерциальной (движущейся с ускорением) системе отсчета, связанной с лифтом, и ваш вес увеличивается. Однако, как только лифт набрал «крейсерскую скорость», он начинает двигаться равномерно, «прибавка» в весе исчезает, и ваш вес возвращается к привычному для вас значению. Таким образом, ускорение производит тот же эффект, что и гравитация.

Теперь представьте, что вы находитесь в открытом космосе вдали от любых сколько-нибудь значительных гравитационных полей, но при этом ваш корабль движется с ускорением 9,8 м/с². Если вы встанете на весы, то обнаружите, что вес вашего тела не отличается от веса вашего тела на Земле. Если вы возьмете шар и отпустите его, он, как и на Земле, упадет на пол, и, если измерить изменение скорости его падения в пути, окажется, что он падал равноускоренно всё с тем же ускорением 9,8 м/с², то есть динамика его падения ничем не отличается от земной.

Принцип эквивалентности как раз и гласит, что, находясь в какой-либо замкнутой системе, вы не можете определить, вызвано ускорение свободно движущегося тела в ней гравитационным полем или же оно является собственным ускорением неинерциальной системы отсчета, в которой вы находитесь, иными словами, обусловлено действием силы инерции.

Из принципа эквивалентности следуют интересные предсказания относительно поведения света в гравитационном поле. Представьте, что в момент ускоренного движения вверх при старте лифта вы послали световой импульс (например, при помощи лазерной указки) в направлении мишени на противоположной стене лифта. За то время, пока импульс света находится в пути, мишень вместе с лифтом ускорится, и световая вспышка на стене окажется ниже мишени. (Конечно же, в земных условиях вы этого отклонения не заметите, так что просто представьте, будто вы способны рассмотреть отклонение на тысячные доли микрона.) Теперь, возвращаясь к принципу эквивалентности гравитации и ускорения, можно сделать вывод, что аналогичный эффект отклонения светового луча должен наблюдаться не только в неинерциальной системе, но и в гравитационном поле. Для светового луча, согласно обобщенному принципу эквивалентности сил гравитации и инерции, введенному Эйнштейном в число постулатов общей теории относительности, отклонение светового луча звезды, проходящего по касательной к периметру Солнца, должно составлять около 1,75 угловых секунд (примерно одна двухтысячная градуса), в то время как в рамках классической механики Ньютона луч также должен отклоняться в силу того, что свет обладает массой, но на значительно меньший угол (около 0,9 угловых секунд). Таким образом, измерения, проведенные сэром Артуром Эддингтоном (Arthur Eddington, 1882–1944) во время полного солнечного затмения 1919 года и выявившие отклонение луча на угол 1,6 угловых секунд, стали триумфальным экспериментальным подтверждением общей

О́бщая тео́рия относи́тельности (ОТО; нем. allgemeine Relativitätstheorie) — геометрическая теория тяготения, развивающая специальную теорию относительности (СТО), опубликованная Альбертом Эйнштейном в 1915—1916 годах^[1][2]. В рамках общей теории относительности, как и в других метрических теориях, постулируется, что гравитационные эффекты обусловлены не силовым взаимодействием тел и полей, находящихся в пространстве-времени, а деформацией самого́ пространства-времени, которая связана, в частности, с присутствием массы-энергии. Общая теория относительности отличается от других метрических теорий тяготения использованием уравнений Эйнштейна для связи кривизны пространства-времени с присутствующей в нём материей.

ОТО в настоящее время — самая успешная теория гравитации, хорошо подтверждённая наблюдениями. Первый успех общей теории относительности состоял в объяснении аномальной прецессии перигелия Меркурия. Затем, в 1919 году, Артур Эддингтон сообщил о наблюдении отклонения света вблизи Солнца в момент полного затмения, что качественно и количественно подтвердило предсказания общей теории относительности^[3]. С тех пор многие другие наблюдения и эксперименты подтвердили значительное количество предсказаний теории, включая гравитационное замедление времени, гравитационное красное смещение, задержку сигнала в гравитационном поле и, пока лишь косвенно, гравитационное излучение^[4]. Кроме того, многочисленные наблюдения интерпретируются как подтверждения одного из самых таинственных и экзотических предсказаний общей теории относительности — существования чёрных дыр^[5].

22) Закон Бернулли

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

 — плотность жидкости,

 — скорость потока,

 — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

 — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

 — ускорение свободного падения.

Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости.

Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли (не следует путать сдифференциальным уравнением Бернулли).

Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид:    .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ:    .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

24) Ламіна́рна течія́ (рос. ламинарное течение, англ. laminar flow; straight-line flow; нім. Laminarströmung f, laminare Strömung f, Bandströmung f, gleitende Strömung f) — впорядкований рух рідини або газу, при якому рідина (газ) рухається шарами, паралельними до напрямку течії.

Ламінарна течія — рух частинок по паралельних лініях з певною малою швидкістю. Характерна для течії підземних вод.

Режим течії рідини характеризується числом Рейнольдса

Re = ρvl/µ,

де ρ — густина,

µ — коефіцієнт динамічної в'язкості,

v — характерна швидкість течії рідини (газу),

l — характерний розмір.

Ламінарна течія має місце, коли число Re менше від критичного значення. Для випадку течії води в круглій трубі Re_кр = 2200. Ламінарна течія спостерігається в дуже в'язких рідинах або при течіях з досить малими швидкостями, а також при повільному обтіканні дуже в'язкою рідиною тіл малих розмірів. Із збільшенням швидкості руху даної рідини (газу) ламінарна течія переходить у турбулентну течі

25) Закон Пуазёйля (иногда закон Хагена — Пуазёйля) — это физический закон так называемого течения Пуазёйля, то есть установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке. Закон установлен в 1839 году Г. Хагеном, а в 1940—1941 годы — независимо Ж. Л. Пуазёйлем.

При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения секундный объёмный расход прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости.

где

• p₁ − p₂ = Δp — перепад давления на концах капилляра, Па;

• Q — секундный объёмный расход жидкости, м³/с;

• R — радиус капилляра, м;

• d — диаметр капилляра, м;

• η — коэффициент динамической вязкости, Па·с;

•  — длина трубы, м.

Формула используется для определения вязкости жидкостей. Другим способом определения вязкости жидкости является метод, использующий закон Стокса.

27) Рівняння стану ідеального газу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Рівн́яння стáну ідеáльного гáзу — формула, що встановлює залежність між тиском, молярним об'ємом і абсолютноютемпературою класичного ідеального газу. Рівняння має вигляд:

, де:

• p — тиск,

• V_μ — молярний об'єм,

• T — абсолютна температура,

• R — універсальна газова стала.

Оскільки  , де ν — кількість речовини, то рівняння можна записати у вигляді:

28) Молекулы газа при своем движении постоянно сталкиваются. Скорость каждой молекулы при столкновении изменяется. Она может возрастать и убывать. Однако среднеквадратичная скорость остается неизменной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Скорость отдельной молекулы с течением времени может меняться, однако доля молекул со скоростями в некотором интервале скоростей остается неизменной.

Нельзя ставить вопрос: сколько молекул обладает определенной скоростью. Дело в том, что, хоть число молекул очень велико в любом даже малом объеме, но количество значений скорости сколь угодно велико (как чисел в последовательном ряде), и может случиться, что ни одна молекула не обладает заданной скоростью.

  Рис. 3.3

Задачу о распределении молекул по скоростям следует сформулировать следующим образом. Пусть в единице объема n молекул. Какая доля молекул   имеет скорости от v₁ до v₁ + Δv? Это статистическая задача.

Основываясь на опыте Штерна, можно ожидать, что наибольшее число молекул будут иметь какую-то среднюю скорость, а доля быстрых и медленных молекул не очень велика. Необходимые измерения показали, что доля молекул  , отнесенная к интервалу скорости Δv, т.е.  , имеет вид, показанный на рис. 3.3. Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории вероятности определил эту функцию. С тех пор она называется функцией распределения молекул по скоростям или законом Максвелла.

Аналитически она выражается формулой

,

где m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана.

Установление этой зависимости позволило определить кроме уже известной среднеквадратичной скорости еще две характерные скорости – среднюю и наиболее вероятную. Средняя скорость – это сумма скоростей всех молекул, деленная на общее число всех молекул в единице объема.

Средняя скорость, подсчитанная на основании закона Максвелла, выражается формулой

или

.

Наиболее вероятная скорость – это скорость, вблизи которой на единичный интервал скоростей приходится наибольшее число молекул. Она рассчитывается по формуле:

.

Сопоставляя все три скорости:

1) наиболее вероятную  ,

2) среднюю  ,

3) среднюю квадратичную  , – видим, что наименьшей из них является наиболее вероятная, а наибольшей – средняя квадратичная. Относительное число быстрых и медленных молекул мало (рис. 3.4).

  Рис. 3.4

При изменении температуры газа будут изменяться скорости движения всех молекул, а, следовательно, и наиболее вероятная скорость. Поэтому максимум кривой будет смещаться вправо при повышении температуры и влево при понижении температуры. Высота максимума не будет оставаться постоянной. Дело в том, что площадь заштрихованной фигуры численно равна доле   общего числа молекул n, которую образуют молекулы со скоростями в указанном интервале. Общая площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс (скоростей), таким образом, равна единице и не меняется при изменении температуры (рис. 3.5). Поэтому высота максимума и меняется при изменении температуры.

  Рис. 3.5

Кривые распределения молекул по скоростям начинаются в начале координат, асимптотически приближаются к оси абсцисс при бесконечно больших скоростях. Слева от максимума кривые идут круче, чем справа. То, что кривая распределения начинается в начале координат, означает, что неподвижных молекул в газе нет. Из того, что кривая асимптотически приближается к оси абсцисс при бесконечно больших скоростях, следует, что молекул с очень большими скоростями мало. Это легко объяснимо. Для того чтобы молекула могла приобрести при столкновениях очень большую скорость, ей необходимо получить подряд много таких столкновений, при которых она получает энергию, и ни одного столкновения, при котором она ее теряет. А такая ситуация маловероятна.

29) При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением ударов молекул. Поэтому, молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Вследствие этого, каждая молекула массой m испытывает действие силы тяжести f =mg.

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 11.2). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом объеме равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул   в единице объема. Полный вес молекул в выделенном элементе равен

Действие веса dF вызывает давление, равное

(11.2)

минус - т.к. при увеличении dh давление уменьшается. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

(11.3)

Приравнивая правые части (11.2) и (11.3), получаем

или

Интегрируя это выражение в пределах от   до h (соответственно концентрация изменяется от   до n):

получим

Потенцируя полученное выражение, находим

(11.4)

Показатель степени при exp имеет множитель   , который определяет приращение потенциальной энергии молекул газа. Если переместить молекулу с уровня   до уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

Тогда уравнение для концентрации молекул преобразуется к виду

(11.5)

Это уравнение отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Он применим к любой системе частиц, находящихся в силовом поле, например в электрическом.

Розпо́діл Ма́ксвелла-Бо́льцмана визначає ймовірність того, що частинка ідеального газу перебуває в стані з певною енергією.

Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією ε_k згідно з розподілом Больцмана визначається формулою:

,

де μ — хімічний потенціал, T — температура, k_B — стала Больцмана.

Хімічний потенціал μ визначається з умови

∑	nk = 1,
k

де N — число частинок.

Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли  . Ця умова реалізується при високих температурах.

Барометри́чна фо́рмула (рос. барометрическая формула; англ. barometric height formula; нім. barometrische Formel) — формула, за якою визначають залежність тиску або густини газу від висоти. Ця залежність зумовлена дією поля тяжіння Землі і тепловим рухом молекул газу (повітря). Припускаючи, що газ є ідеальним газом сталої температури, і вважаючи поле тяжіння Землі однорідним, отримують барометричну формулу такого вигляду:

,

де p₀ — тиск на нульовому рівні (на рівні вибою в газових свердловинах, біля поверхні Землі або на рівні моря), Па;

p — тиск на висоті h, м над цією поверхнею, Па;

m — маса молекули (для повітря дорівнює масі молекули азоту), кг;

g — прискорення вільного падіння, м/с²;

k — стала Больцмана, Дж/К;

T — абсолютна температура повітря, К.

Записана барометрична формула є наближеною: при виведенні її не враховано залежності g i T від висоти, відхилення газу від ідеального газу тощо. Нею можна користуватися для визначення атмосферного тиску до висоти 11 км (з поправками на зміну температури). За уточненою барометричною формулою градуюють альтиметри, висотоміри. Зміну тиску нерухомого стовпа газу у свердловині розраховують за уточненою барометричною формулою Лапласа-Бабіне:

,

де p(z) — тиск газу на глибині z, м, Па;

p₀ — тиск газу на гирлі свердловини, Па;

Γ — відносна густина газу (до повітря);

T_с — середня температура газу, К;

z_Γ — середній коефіцієнт стисливості газу при середньому тиску і середній температурі газу.

Барометричну формулу з певним обмеженням можна використати для визначення розподілу кількості колоїдних частинок по висоті рідинної або газової дисперсної системи, на які діє поле тяжіння. Барометрична формула є окремим випадком розподілу Больцмана.

30) Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние (обозначаемое λ), которое частица пролетает за время свободного пробега от одного столкновения до следующего.

-30) Длина свободного пробега каждой молекулы различна, поэтому в кинетической теории вводится понятие средней длины свободного пробега (<λ>). Величина <λ> является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значенияхдавления и температуры.

Формула

, где σ — эффективное сечение молекулы, n — концентрация молекул.

-33) Теплопрово́дность — это перенос тепловой энергии структурными частицами вещества (молекулами, атомами, ионами) в процессе их теплового движения. Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния вещества. Явление теплопроводности заключается в том, чтокинетическая энергия атомов и молекул, которая определяет температуру тела, передаётся другому телу при их взаимодействии или передаётся из более нагретых областей тела к менее нагретым областям. Иногда теплопроводностью называется также количественная оценка способности конкретного вещества проводить тепло.

Численная характеристика теплопроводности материала равна количеству теплоты, проходящей через материал толщиной 1 м и площадью 1 кв.м за единицу времени (секунду) при разности температур на двух противоположных поверхностях в 1 К. Данная численная характеристика используется для расчета теплопроводности для калибрования и охлаждения профильных изделий.

Исторически считалось, что передача тепловой энергии связана с перетеканием теплорода от одного тела к другому. Однако болеепоздние опыты, в частности, нагрев пушечных стволов при сверлении, опровергли реальность существования теплорода как самостоятельного вида материи. Соответственно, в настоящее время считается, что явление теплопроводности обусловлено стремлением занять состояние более близкое к термодинамическому равновесию, что выражается в выравнивании температуры

34) Обратимым процессом называют такой процесс, который может быть проведен в обратном направлении таким образом, что система будет проходить через те же состояния, что и при прямом ходе, но в обратной последовательности. Обратимым может быть только равновесный процесс.

Обратимый процесс обладает следующими свойствами: если при прямом ходе на каком-то элементарном участке (рис. 9.8.) система получает тепло   и совершает работу   , то при обратном ходе на том же участке система отдает тепло   и над ней совершается работа  . По этой причине после протекания обратимого процесса в одном, а затем в обратном направлении и возвращение системы в первоначальное состояние в окружающих телах не должно оставаться никаких изменений. Например шарик на пружине в вакууме колеблется бесконечно долго.

35) Если в результате теплообмена телу передается некоторое количество теплоты, то внутренняя энергия тела и его температура изменяются. Количество теплоты Q, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 К называют удельной теплоемкостью вещества c. 

c = Q / (mΔT).

Во многих случаях удобно использовать молярную теплоемкость C: 

C = M · c,

где M – молярная масса вещества.

Определенная таким образом теплоемкость не является однозначной характеристикой вещества. Согласно первому закону термодинамики изменение внутренней энергии тела зависит не только от полученного количества теплоты, но и от работы, совершенной телом. В зависимости от условий, при которых осуществлялся процесс теплопередачи, тело могло совершать различную работу. Поэтому одинаковое количество теплоты, переданное телу, могло вызвать различные изменения его внутренней энергии и, следовательно, температуры.

Такая неоднозначность определения теплоемкости характерна только для газообразного вещества. При нагревании жидких и твердых тел их объем практически не изменяется, и работа расширения оказывается равной нулю. Поэтому все количество теплоты, полученное телом, идет на изменение его внутренней энергии. В отличие от жидкостей и твердых тел, газ в процессе теплопередачи может сильно изменять свой объем и совершать работу. Поэтому теплоемкость газообразного вещества зависит от характера термодинамического процесса. Обычно рассматриваются два значения теплоемкости газов: C_V– молярная теплоемкость в изохорном процессе (V = const) и C_p – молярная теплоемкость в изобарном процессе(p = const).

Политропный процесс — термодинамический процесс, во время которого удельная теплоёмкость c газа остаётся неизменной. Предельными частными явлениями политропного процесса являются изотермический процесс и адиабатный процесс. В случае идеального газа изобарный процесс и изохорный процесс также являются политропическими.

Для идеального газа уравнение политропы может быть записано в виде:

pVⁿ = const

где величина   называется показателем политропы.

В зависимости от процесса можно определить значение n:

1. Изотермический процесс: n = 1, так как PV¹ = const, значит PV = const, значит T = const.

2. Изобарный процесс: n = 0, так как PV⁰ = P = const.

3. Адиабатный процесс: n = γ, это следует из уравнения Пуассона.

Здесь γ — показатель адиабаты.

4. Изохорный процесс:  , так как  , значит P₁ / P₂ = (V₂ / V₁)ⁿ, значит V₂ / V₁ = (P₁ / P₂)^{(1 / n)}, значит, чтобы V₂ / V₁ обратились в 1, n должна быть бесконечность.

уравнение I начала термодинамики принимает вид

(9.20)

или

т.е. внешняя работа газа может производиться вследствие изменения его внутренней энергии. Адиабатное расширение газа (dV>0) сопровождается положительной внешней работой, но при этом внутренняя энергия уменьшается и газ охлаждается (dT<0).

38) Работа тепловой машины за цикл. Покажем, что полезная работа, произведенная машиной в результате совершения рабочего цикла, пропорциональна площади цикла на диаграмме p, V. 

   Если при работе тепловой машины изменение состояния рабочего тела происходит по замкнутому циклу, то полезную работу за один цикл можно найти как сумму работ при расширении и при сжатии газа. Пусть изменение состояния газа за цикл представлено диаграммой в координатных осях p, V (рис. 114). Работа газа при расширении положительна и пропорциональна площади фигуры ABCDE. Работа газа при сжатии отрицательна и пропорциональна площади фигуры ABC'DE. Поэтому полная работа газа, равная сумме работ при расширении и сжатии, оказывается пропорциональной площади фигуры BCDC'B цикла на диаграмме в координатных осях p, V.

Рабочий цикл тепловой машины и ее КПД. В результате совершения рабочего цикла газ возвращается в начальное состояние, его внутренняя энергия принимает первоначальное значение. Следовательно, за цикл изменение внутренней энергии рабочего тела равно нулю:

 .

Согласно первому закону термодинамики

,

или A' = Q.

   Работа A', совершенная рабочим телом за цикл, равна полученному за цикл количеству теплоты Q. Количество теплоты Q, полученное рабочим телом за цикл, равно разности количества теплоты Q₁, полученного от нагревателя, и количества теплоты Q₂, отданного холодильнику:

Q = Q₁ - Q₂.

Следовательно,

A' = Q₁ - Q₂.

Коэффициет полезного действия  , равный отношению полезно использованной энергии к затраченной энергии, для тепловой машины оказывается равным

   или    . (34.1)

39) Французский инженер Сади Карно (1796—1832) в 1824 г. установил чрезвычайно важную для практики зависимость КПД тепловой машины от температуры T₁ нагревателя и температуры T₂ холодильника: независимо от конструкции и выбора рабочего тела максимальное значение КПД тепловой машины определяется выражением

 

 (34.2)

Любая реальная тепловая машина может иметь КПД, не превышающий это максимальное значение:

 (34.3)

Выражение для максимального значения КПД тепловой машины показывает, что для повышения коэффициента полезного действия тепловых машин существует два пути — повышение температуры T₁ нагревателя и понижение температуры T₂ холодильника. КПД тепловой машины мог бы стать равным единице, если бы имелась возможность использовать холодильник с температурой, равной абсолютному нулю.

   Однако этот путь даже теоретически неосуществим, так как абсолютный нуль, согласно представлениям термодинамики, не может быть достигнут.

   Наиболее приемлемыми холодильниками для реальных тепловых машин являются атмосферный воздух или вода при температуре около 300 К.

   Следовательно, основной путь повышения КПД тепловых машин — это повышение температуры нагревателя.

41) Рост энтропии является общим свойством всех самопроизвольно протекающих необратимых процессов в изолированных термодинамических системах. При обратимых процессах в изолированных системах энтропия не изменяется: 

ΔS ≥ 0.

Это соотношение принято называть законом возрастания энтропии.

При любых процессах, протекающих в термодинамических изолированных системах, энтропия либо остается неизменной, либо увеличивается.

Таким образом, энтропия указывает направление самопроизвольно протекающих процессов. Рост энтропии указывает на приближение системы к состоянию термодинамического равновесия. В состоянии равновесия энтропия принимает максимальное значение. Закон возрастания энтропии можно принять в качестве еще одной формулировки второго закона термодинамики.

В 1878 году Л. Больцман дал вероятностную трактовку понятия энтропии. Он предложил рассматривать энтропию как меру статистического беспорядка в замкнутой термодинамической системе. Все самопроизвольно протекающие процессы в замкнутой системе, приближающие систему к состоянию равновесия и сопровождающиеся ростом энтропии, направлены в сторону увеличения вероятности состояния.

42) Термическим уравнением состояния (или, часто, просто уравнением состояния) называется связь между давлением, объёмом и температурой.

Для одного моля газа Ван-дер-Ваальса оно имеет вид:

где

• p — давление,

• V — молярный объём,

• T — абсолютная температура,

• R — универсальная газовая постоянная.

Видно, что это уравнение фактически является уравнением состояния идеального газа с двумя поправками. Поправка a учитывает силы притяжения между молекулами (давление на стенку уменьшается, т.к. есть силы, втягивающие молекулы приграничного слоя внутрь), поправка b — силы отталкивания (из общего объёма вычитаем объём, занимаемый молекулами).

Для ν молей газа Ван-дер-Ваальса уравнение состояния выглядит так:

где

• V — объём,

43) Реальный газ — газ, который не описывается уравнением состояния идеального газа Клапейрона — Менделеева.

Зависимости между его параметрами показывают, что молекулы в реальном газе взаимодействуют между собой и занимают определенный объём. Состояние реального газа часто на практике описывается обобщённым уравнением Менделеева — Клапейрона:

где p — давление; V - объем T — температура; Z_r = Z_r (p,T)  —коэффициент сжимаемости газа; m - масса; М — молярная масса; R — газовая постоянная.