1.Числа.Числовые поля (q,r,c).Поле комплексных чисел.
R-множество действительных чисел.
Q-рациональные числа.
C-комплексные числа.
2.Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа. Действия с компл.Числами, Формула Муавра.
Комплексные числа: Z=x+i*y, где x–действительная часть, i-мнимая единица (i2=-1), y-мнимая часть,
Z=x+i*y – алгебраическая форма.
|Z|*li*argZ – Показательная форма.
|Z|*(cos(argZ)+i*sin(argZ)) – Тригонометрическая форма.
Действия:
1)Сложение: z1+z2=(x1+x2)+i*(y1+y2)
2)Умножение: z1*z2=(x1+i*y1)(x2+i*y2)=(x1*x2-y1*y2)+i*(y1*x2+y2*x1)
3)Деление: z1/z2= ((x1+iy1)* (x2+iy2)) /((x2+iy2)* (x2-iy2))=((x1*x2+y1*y2)/(x22+y22))/ (i*((y1*x2+x1*y2)/(x22+y22)))
Формула
Муавра: Z1/n
=|Z|^ 1/n
*(cos((ϕ+2kπ)/n)+i*sin(ϕ+2kπ))
, где
k=0,1,…,(n-1)
(cosϕ+i*sinϕ)n=cosnϕ+i*sinnϕ
3.Матрицы и определители.
Матрица – это таблица чисел,состоящая из m-строк и n-столбцов (имеет размерность mxn).
Матрица у которой число строк=числу столбцов называется квадратной. Квадратную матрицу размерности nxn называют матрицей n-ного порядка. Для квадратной матицы элементы, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла, образует главную диагональ. Элементы, идущие с верхнего правого угла образует побочную диагональ. Матрица, у которой все элементы равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается буквой «Ỡ».
Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а на др. местах нули называется единичной и обозначается буквой «E»(иногда «I») Единичная матрица выполняет роль нейтрального элемента по умножению (как 1 в арифметике). То есть A*E=A. Нулевая матрица выполняет роль нейтрального элемента по сложению/вычитанию (как 0 в арифметике).То есть А+Ỡ=A, А-Ỡ=A. Матрица, содержащая одну строку/столбец называется вектор-столбец/вектор-строка. Матрица, полученная из данной путем замены её строк на столбцы называется транспонированной (Обозначается AT).Матрицы A и B равные если у них одинаковая размерность и их соответсв. элементы равны. Определитель – это число, которое можно сопоставить любой квадратной матрице порядка n.
4. Свойства определителей. Вычисление определителей.
Вычисление определителя: для размерности 1 detA=a11, для размерности 2 detA=a11*a22-a12*a21, для размерности 3 detA=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a32*a21-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a32*a33*a11 для размерности 4 выбирают строку и умножают значения каждого элемента строки на определитель матрицы, не находящийся в строке и столбце, в котором находится данный элемент. Свойства определителя: 1) при транспонировании матрицы определитель не изменится. 2) Если в определителе поменять местами 2 строки/столбца, то определитель поменяет знак. 3) Общий множитель элементов некоторой строки/столбца можно выносить за знак определителя. 4)Если в определителе есть две одинаковых строки/столбца, то определитель равен нулю. Следствие из свойств 3 и 4: Если элементы некоторой строки/столбца пропорциональны элементам другой строки/столбца то определитель равен нулю.
5) Если элементы какой либо строки/столбца представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответств. Определителей. 6) Если к элементам некоторой строки/столбца прибавить элементы другой строки/столбца, домноженных на некоторое число ƛ (ƛ не =0) , то определитель не изменится.