- •Свойства определителей
- •Системы линейных уравнений
- •Решение слау.
- •Действия над матрицами.
- •6) Линейные действия над векторами. Опр. Коллинеарности и компланарности векторов.
- •7) Исследование линейной зависимость векторов на плоскости и в пространстве.
- •8) Определение базиса векторов и координат вектора. Прямоугольная система координат.
- •9) Проекция вектора на ось. Координаты точки и вектора в прямоугольной системе.
- •10) Линейные действия над векторами в координатном представлении.
- •14) Вывод уравнения окружности
- •21) Полярная система координат.
- •22) Общее уравнение кривой второго порядка. Переход к каноническим уравнениям
- •24) Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости
- •25) Вывод канонического и общего уравнения прямой в пространстве. Переход между ними
- •26. . Элементы теории множеств
- •Символика математической логики
- •Определение функции в теории множеств
- •27. Общие свойства функций
- •28. Элементарные функции
- •29. Числовые последовательности
- •30. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •36) Общие правила раскрытия неопределенностей
- •37) Опр. Средней скорости движения, мгновенной скорости, производной от функции. Алгебраический, физический, геометрический смысл производной.
- •40) Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.
Решение слау.
Решим систему
Перепишем её в матричном виде:
Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:
Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.
Перепишем полученную систему в виде уравнений:
Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:
Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и .
Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:
а вектора составляют фундаментальную систему решений.
Формулы Крамера
Метод Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.
Система линейных уравнений:
Определители:
Решение:
Пример:
Определители:
Метод Гаусса.
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:
Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4:
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
из третьего;
из второго, подставив полученное Z
из первого, подставив полученные Z и X.
Действия над матрицами.
Сумма двух матриц:
Произведением числа m на матрицу:
Произведение AX:
Произведение двух матриц A и B:
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Пусть дана система уравнений:
Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А(-1)
D = det A = = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11 = = -5; M12 = = 1; M13 = = -1;
M21 = M22 = M23 =
M31 = M32 = M33 =
Далее:
A(-1) =
Cделаем проверку: A*(A-1) =
Находим матрицу Х.
Х = = (А-1)*В = = =
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
6) Линейные действия над векторами. Опр. Коллинеарности и компланарности векторов.
Коллинеарные - два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
Компланарные - три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.
Линейные действия над векторами – сложение, умножение на число.
Сложение - Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к некоторой точке O, получим . Приложим вектор к точке A, получим . Тогда вектор будем называть суммой векторов: .
Умножение на число - Произведением вектора на число k называется вектор, который:
коллинеарен вектору ;
сонаправлен ему, если k > 0, или противоположнонаправлен, если k < 0;
длины связаны следующим соотношением: