Задача 2 Вычисление расчетного расхода при достаточной продолжительности наблюдений

1. Определить статистические характеристики гидрологического ряда наблюдений за стоком воды в реке А.

2. Построить эмпирическую и теоретические (аналитические) кривые обеспеченности максимальных расходов воды.

3. Вычислить максимальный расход воды 1% вероятности превышения (обеспеченности) тремя методами: моментов, наибольшего правдоподобия и графоаналитическим.

Указания к решению задачи

Поведение случайных величин, которые составляют заданный гидрологический ряд наблюдений, можно охарактеризовать тремя параметрами:

- средним арифметическим значением;

- коэффициентом вариации;

- коэффициентом асимметрии.

Среднее арифметическое значение ряда:

(2)

где: Q_i – максимальный расход весеннего половодья, м³/с;

n – количество членов ряда.

Коэффициенты вариации и асимметрии определяются в соответствии с СП 33-101-2003 тремя методами: моментов, наибольшего правдоподобия и графоаналитическим.

1. Метод моментов. Коэффициент вариации С_v характеризует меру изменчивости членов ряда относительно среднего арифметического значения и определяется по формуле (при С_v < 0.6):

, (3)

где K_i – частное от деления i-го члена ряда на среднее арифметическое этого ряда, т.е. .

Коэффициент асимметрии С_s характеризует отличие по величине и количеству положительных (больше средних) и отрицательных (меньше средних) отклонений от среднего арифметического значения ряда. Для симметричных рядов (нормальное распределение ежегодных вероятностей превышения значений ряда) эти отклонения повторяются одинаково часто, поэтому C_s = 0. Для несимметричных рядов C_s ≠ 0, а коэффициент асимметрии определяется по формуле (при С_s < 1,0):

(4)

Расчеты по определению статистических характеристик сводятся в табл. 3. В верхней строке этой таблицы указана точность, с которой необходимо определить соответствующие величины.

Для проверки правильности определения среднего значения сравниваем суммы положительных и отрицательных значений ∑(K_i - 1). Они должны отличаться один от другого не более чем на 5%.

2. Метод наибольшего правдоподобия. Для оценки коэффициентов вариации и асимметрии этим методом необходимо предварительно определить величины статистик:

(5)

Результаты расчета, необходимые для определения этих статистик, сводятся в табл. 3. По рассчитанным значениям статистик по одной из номограмм (прил. 4) определяют характеристики ряда: C_v, C_s/C_v и C_s.

3. После определения параметров статистического ряда этими методами, по таблицам прил. 4 находятся ординаты (модульные коэффициенты) теоретической (аналитической) кривой трехпараметрического гамма-распределения ежегодных вероятностей превышения значений гидрологической характеристики или кривой обеспеченности. По ним вычисляем максимальные расходы воды заданной обеспеченности Q_р% = К_р% * Q_ср (табл. 4).

4. В задаче требуется построить эмпирическую и теоретические кривые обеспеченности.

Эмпирическую обеспеченность или ежегодную вероятность превышения гидрологических характеристик определяют по формуле:

, % (6)

где m – порядковый номер члена ряда, выстроенного в убывающем порядке (табл. 3).

Результаты расчета эмпирической обеспеченности приведены в табл. 3.

5. На клетчатках вероятности (рис. 4 или прил. 3) по данным табл.3 и 4 строим:

- эмпирическую кривую обеспеченности;

- теоретическую кривую обеспеченности (метод моментов);

- теоретическую кривую обеспеченности (метод наибольшего правдоподобия).

6. Графоаналитический метод. Ввиду того, что для вычисления коэффициента асимметрии с достаточной точностью требуется статистический ряд с числом членов более 100, его значения определяют, как правило, с большой погрешностью. Поэтому, в случае применения биномиальной кривой обеспеченности (при надлежащем обосновании) величину коэффициента асимметрии можно уточнить и определить Q_р% графоаналитическим методом с использованием клетчаток вероятности ( рис. 4 или прил. 3).

Для этого по эмпирической кривой обеспеченности (рис. 4) определяется коэффициент скошенности:

S = (Q₅ + Q₉₅ - 2Q₅₀) / (Q₅ - Q₉₅), (7)

где Q_5%, Q_50% и Q_95% - величины расходов воды 5, 50 и 95% обеспеченности, устанавливаемые по эмпирической кривой (рис. 4).

Коэффициент асимметрии находим по прил.4 в зависимости от величины коэффициента скошенности S. Из этого приложения также выписываются значения коэффициентов Фостера: Ф_50% и (Ф_5% - Ф_95%).

Среднее квадратическое отклонение будет равно:

σ' = (Q₅ - Q₉₅) / (Ф₅ - Ф₉₅) (8)

Уточненное значение средней величины ряда определим по формуле:

Q_ср’ = Q_50% - Ф_50% * σ’ (9)

Тогда коэффициент вариации:

C_v’ = σ’ / Q_ср’. (10)

Модульный коэффициент р% обеспеченности будет равен:

К_р% = Ф_р% * С_v’ + 1, (11)

где Ф_р% - коэффициент Фостера, определяемый по прил. 4 в зависимости от коэффициента асимметрии C_s и обеспеченности р%.

Искомый расчетный максимальный расход воды 1% обеспеченности равен:

Q_1% = K_1% * Q_ср’ (12)

Пример

Исходные данные:

Ряд наблюдений за максимальным расходом воды в реке А продолжительностью n =31 год для выбранного варианта (см. прил. 1).

1. Вычислим статистические характеристики ряда наблюдений, предварительно выполнив расчеты по форме табл.3

= 11378 / 31 = 367 м³/с.

+ ∑ (К_i - 1) = 3.26

- ∑ (K_i - 1) = - 3.25

Суммы положительных и отрицательных значений ∑(K_i – 1) отличаются менее чем на 5%.

а) метод моментов:

= 0.26

= = 0.059

б) метод наибольшего правдоподобия:

= - 0,016

= 0,015

По номограмме (прил. 4) определим:

C_v = 0.26, C_s / C_v = 0.4, C_s = (C_s/C_v) * C_v = 0.4 * 0.26 = 0.1

2. По таблицам прил. 4 определим ординаты теоретических кривых обеспеченности и величины максимальных расходов воды разной вероятности превышения (табл. 4). При C_s / C_v < 0.5 для определения ординат кривых обеспеченности используется таблица прил. 4 при C_s / C_v = 0.5.

Таблица 3

m	Qi в убывав. порядке	Ki	Ki -1	(Ki-1)^2	(Ki-1)^3	p, %	lg Ki	Ki*lg Ki
	Точность	0,01	0,01	0,001	0,0001	0,1	0,001	0,001
1 2 … … 30 31	576 526 …. … 200 185	1,57 1,43 … … 0,54 0,50	0,57 0,43 … … -0,46 -0,50	0,325 0,185 … … 0,212 0,250	0,1852 0,0795 … … -0,0973 -0,1250	3,1 6,3 … … 93,8 96,9	0,196 0,155 … … -0,268 -0,301	0,308 0,222 … … -0,145 -0,150
	∑Qi= =11378		+ 3.26 - 3.25	∑ = =2.028	∑= =+0.0291		∑= = -0.475	∑= =0.451

Таблица 4

Ординаты теоретической кривой обеспеченности

максимальных расходов воды

а) метод моментов (Q_ср = 367 м³/с, C_v = 0,26, C_s = 0,059)

p, %	0,1	1	5	10	25	50	75	95
Кр%	1,80	1,60	1,41	1,32	1,16	1,0	0,83	0,59
Qр%, м^3/с	661	587	517	484	426	367	305	216

б) метод наибольшего правдоподобия (Q_ср = 367 м³/с, C_v = 0.26, C_s = 0,1)

p,%	0,1	1	5	10	25	50	75	95
Кр%	1,80	1,60	1,42	1,33	1,17	0,99	0,84	0,60
Qр%, м^3/с	661	587	521	488	429	363	308	220

3. На клетчатках вероятности (рис.4 или прил.3) по данным табл.3 и 4 строим (рис. 4):

- эмпирическую кривую обеспеченности;

- теоретическую кривую обеспеченности (метод моментов);

- теоретическую кривую обеспеченности (метод наибольшего правдоподобия).

Q

, м³/с

р, %

Рис.4 Кривые обеспеченности: (1 – эмпирическая, 2 – метод моментов, 3 – метод наибольшего правдоподобия).

4. Для определения Q_1% графоаналитическим методом, используя построенную эмпирическую кривую обеспеченности (рис.4), устанавливаем величины расходов воды с вероятностью превышения 5, 50 и 95%:

Q_5% = 542 м³/с, Q_50% = 365 м³/с, Q_95% = 200 м³/с.

Коэффициент скошенности:

S = (Q_5% + Q_95% - 2 * Q_50%) / (Q_5% - Q_95%) =

= (542 + 200 – 2 * 365) / (542 – 200) = 0,035.

Коэффициент асимметрии и другие параметры определим по прил. 4: C_s = 0,11, Ф_50% = -0,022, Ф_5% - Ф_95% = 3,28.

Среднее квадратическое отклонение равно:

σ’ = (Q_5% - Q_95%) / (Ф_5% - Ф_95%) =

= (542 – 200) / 3,28 = 104,3 м³/с.

Уточненное значение средней арифметической величины найдем по формуле: Q_ср’ = Q_50% - Ф_50% * σ’ = 365 + 0,022 * 104,3 = 367,3 м³/с.

Тогда, коэффициент вариации:

C_v’ = σ’ / Q_ср’ = 104,3 / 367,3 = 0,28.

Расчетный модульный коэффициент при р= 1% равен:

К_1% = Ф_1% * С_v’ + 1,

где Ф_1% - коэффициент Фостера, определяемый по прил. 4 в зависимости от коэффициента асимметрии C_s = 0,11 и обеспеченности р = 1%. Ф_1% = 2,40.

К_1% = 2,40 * 0,28 + 1 =1,67.

Расчетный максимальный расход воды 1% обеспеченности, определенный графоаналитическим методом, равен:

Q_1% = K_1% * Q_ср’ = 1,67 * 367,3 = 613,4 м³/с.

5. Расчетный максимальный расход воды 1% обеспеченности, определенный методами моментов и наибольшего правдоподобия, составил 587 м³/с, что на 4,4 % меньше расхода, определенного графоаналитическим методом. Если нет надлежащего обоснования возможности применения биномиальной кривой обеспеченности, то окончательно в качестве расчетного максимального расхода принимаем наибольшее значение из вычисленных методами моментов и наибольшего правдоподобия. Таким образом, Q_1% = 587 м³/c.