11. Адіабатичний інваріант.

А діабатичний інваріант – деяка величина, що залишається незмінною під час руху системи з параметрами, які змінюються повільно (як кажуть, адіабатично).

Нехай частинка рухається в напрямку зміни магнітного поля (див рисунок). Якщо воно підсилюється вздовж осі Z, то лінії магнітної індукції в цьому напрямку густішають. Ці лінії в даному випадку мають складову вздовж радіуса R. Внаслідок наявності швидкості радіальна складова обумовлює силу Лоренца ,

я ка діє вздовж осі Zпротилежно до напрямку густішання ліній індукції, тобто в сторону послаблення магнітного поля. Ця сила гальмує рух частинки. Для обчислення гальмуючої сили необхідно знати . Врахуємо те, що лінії індукції не мають ні початку ні кінця. Тому число ліній індукції, що входять в деякий об’єм, дорівнює числу ліній. що виходять, або, інакше, магнітний потік, що входить у деякий об’єм, дорівнює потоку, що виходить. В якості об’єму циліндр радіуса R і товщиною , вісь якого співпадає з віссю Z (див рисунок). Прирівнюючи вхідний через ліву основу і бічну поверхню циліндра, отримаємо

Звідси маємо

.

Тому сила, що діє вздовж осі Z, рівна

де враховано, що , і прийнято до уваги визначення магнітного моменту . Напрямок дії цієї сили, як видно з рисунку, протилежний тому, в якому магнітне поле зростає, тобто в даному випадку додатному напрямку осі Z. Тому рівняння для складової швидкості можна записати у вигляді

(*),

де враховано, що в силу повільності зміни поля , тобто складова магнітного поля замінена його повною величиною. Це означає, що лінії магнітної індукції густішають не дуже сильно, тобто їх нахил до осі Z не дуже великий. Знак мінус у рівнянні (*) обумовлений напрямком дії сили.

Помноживши обидві частини (*) на і враховуючи рівності

перетворимо (*) до вигляду

(**)

Так як при русі в магнітному полі швидкість частинки зберігає своє значення, то

и формула (**) матиме вигляд

(1)

де зроблена заміна у відповідності з .

Це рівняння (1) абсолютно аналогічне до рівняння , і із нього слідує. що M=const, тобто магнітний момент зберігається при повільних змінах магнітного поля.

Таким чином доведено, що момент М, визначний рівністю залишається незмінним при русі частинки у випадку повільної зміни магнітного поля як у просторі, так і у часі. Постійність магнітного моменту при повільних змінах магнітного поля інакше називається адіабатичною інваріантністю.

На основі ції теорії можна спробувати побудувати магнітні пастки. Для зручності будемо працювати у циліндричній системі координат(r, ϕ, z )

Справді, з цієї умови випливає співвідношення .

Але в силу закону збереження енергії

,

тому зростання v_ супроводжується зменшенням v_z.

Якщо поле вздовж траєкторії зростає достатньо сильно, то в деякій точці v_z=0, і далі частинка рухатися не зможе. Тому від цієї точки вона відіб’ється і піде назад. Отримаємо так зване магнітне дзеркало, або магнітну пробку. Відбиття не залежить від заряду частинки

Також із рівняння для інваріанту випливає, що у двох різних точках,

Але v_=v sin , v_=v sin , де v та  – відповідно початкова швидкість та її кут з магнітним полем. Тому

.

В точці повороту, від якої частинка відбивається, sin =1. Тому частинки будуть відбиватися від магнітної пробки за умови

Частинки, що рухаються під меншими кутами, не відбиватимуться. Говорять, що вони потрапляють у так званий конус втрат

При утриманні не однієї, а багатьох частинок зіткнення між ними можуть так змінити їхню швидкість, що вони потраплять у конус втрат і вийдуть із пастки. Цим і обумовлюється скінчений (і дуже малий) час утримання частинок у такій пастці.

Також інша причина, за якої досі не вдалося побудувати ефективні пастки, це нестійкість по відношенню до флуктуацій. Наслідком діамагнетизму плазми є виштовхування згустків плазми з області сильного магнітного поля в область слабого магнітного поля. І внаслідок такого руху флуктуація лише збільшується. А час утворення такої флуктуації малий.