- •Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •Глава 1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •1. Введение.
- •2. Понятие о линейной независимости функций.
- •3. Необходимое условие линейной зависимости n функций.
- •4. Формула Остроградского - Лиувилля.
- •5. Фундаментальная система решений (фср).
- •6. Построение общего решения.
- •7. Построение однородного линейного уравнения, имеющего заданную фср.
- •8. Понижение порядка однородного линейного уравнения.
- •9. Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка.
- •10. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
- •11. Метод Коши.
- •12. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •13.Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.
- •14. Приведение однородного линейного уравнения n-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной.
- •15. Линейное уравнение Эйлера.
- •16. Приведение линейного уравнения 2-го порядка к уравнению, не содержащему члена с первой производной.
- •17. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение.
- •18. Интегрирование при помощи степенных и обобщённых степенных рядов.
- •19. Первоначальные сведения о граничной задаче.
- •Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений.
- •20. Свойства решений однородной системы.
- •21. Формула Остроградского – Лиувилля.
- •22. Фундаментальная система решений.
- •23. Построение общего решения.
- •24. Построение однородной линейной системы линейных уравнений, имеющей заданную фср.
- •25. Общее решение неоднородной системы.
- •26. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Глава 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •27. Теорема Пикара:
- •28. Теорема Пикара для нормальной системы n уравнений.
- •29. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных и от параметров.
- •30. Теория устойчивости.
- •31. Простейшие типы точек покоя.
- •32. Второй метод Лагранжа.
- •33. Линейные интегральные уравнения.
- •34. Задачи, приводящиеся к интегральным.
- •35. Принцип сжатых изображений.
- •36. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •37. Теорема Фредгольма для уравнения (1).
- •38. Вариационное исчисление. Метод вариации в задачах с неподвижными границами.
- •39. Вариация и её свойства.
- •40. Основная лемма вариационного исчисления.
- •41. Уравнение Эйлера.
39. Вариация и её свойства.
Определение 2:
Приращением или вариацией аргумента функционала называется разность между двумя функциями , где меняется произвольно в некотором классе функций.
Определение 3:
Функционал непрерывен при в смысле близости ого порядка, если такое, что имеет место неравенство
при
,
,
…
.
Функция берётся из класса функций, на котором функционал определён.
Определение 4:
Функционал называется линейным , если выполняются следующие условия:
1. , где постоянная.
2
Например, .
Определение 5:
Если приращение функционала представимо в таком виде, где линейный по отношению к функционал и при , то линейная по отношению к часть приращения функционала, т.е. называется вариацией функционала и обозначается .
Итак, вариация функционала – это главная, линейная по отношению к часть приращения функционала.
При исследовании функционалов, вариация играет ту же роль, что и производная при исследовании функций.
Вообще говоря, упрощения исследования функционалов дают почти эквивалентное определение вариации функционала.
по при , т.е. .
Действительно, производная от по при равна:
.
Так как , а
Если существует вариация в смысле главной части приращения функционала, то существует и вариация в смысле производной по параметру при . Второе определение несколько шире первого, так как не всегда можно выделить главную линейную часть приращения функционала.
Определение 6:
Функционал достигает на кривой максимума(минимума), если значения функционала на любой близкой от кривой, больше(не меньше), чем , т.е. .
Если ( ) и только при , то говорят, что на кривой достигается строгий максимум (минимум).
Теорема:
Если функционал , имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при , где внутренняя точка область определения функционала, то при , .
При одинаковых и функционал является функцией от , которая при по предположению имеет максимум или минимум. Тогда или
,
В определении максимума или минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду. Если функционал достигает максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых мал, то максимум или минимум называется сильным.
Если же лишь по отношению к кривым, близким к в смысле близости первого порядка, т.е. ещё мал и , то максимум или минимум называется слабым.
Замечание:
Если на кривой достигается экстремум, то не только ,
но и , где любое семейство допустимых кривых, причём при и функция должна приращаться в и . Эта производная, конечно, не совпадает с вариацией функционала, но обращается в нуль одновременно с , на кривых, реализующих экстремум функционала, это будет использовано в дальнейшем при исследовании функционалов на экстремум.
ЛЕКЦИЯ 15:
40. Основная лемма вариационного исчисления.
Если для каждой непрерывной функции ,
, где непрерывна на отрезке отрезке , то на том же отрезке.
Доказательство:
Предположим, что , .
Тогда из непрерывности следует, что существует окретность точки , где сохраняет знак . Выбрав функцию , сохраняющую такой же знак в этой окрестности, и равноё нулю вне этой окрестности, получим:
Пришли к противоречию. Следовательно, .
Замечание:
Аналогично доказывается, если непрерывна в области на плоскости и при любом непрерывной в .