3.4Характеристики сложных смо.
Многомерный поток
Пусть на вход прибора
поступает M типов заявок с интенсивностями
Пусть каждый поток - простейший.
Тогда можно подсчитать ( i )=( i )/( i ) и аналогично параметры n( i ),l( i ),u( i ),w( i ) для каждого потока независимо.
Общие средние времена
w=( l( i ) )/( ( i ) )
u=( n( i ) )/( ( i ) )
общая средняя очередь и число заявок в системе
l=( l( i ) )
n=( n( i ) );
( i )/i - вероятность, что заявка принадлежит i-му типу.
3.5Многоканальные системы
Пусть система имеет m обслуживающих каналов с интенсивностью обслуживания на каждый канал и общий простейший поток на входе с интенсивностью .
Такая СМО обозначается M/M/m
Граф состояний такой системы подобен графу для одноканальной СМО.
Интенсивности переходов вправо также равны * , а интенсивности переходов влево равны * , 2** , 3** ,.. m** и далее m** .
Аналогично одноканальной CМО, получим :
p(0)=1/( 1+/1! +^2/2!+..^m/m! +^(m+1)/(m! *(m-)) )
=/ < m
p(1)=*p(0)/1! .. p(k)=^k*p(0)/k! .. p(m+k)=^(m+k)*p(0)/(m!*m^k)
средняя длина очереди
l=^(m+1)*p(0)/(m*m!*(1-/m)^2 )
Среднее число занятых каналов равно .
Среднее число заявок в системе
n=l+
Для значений u и w справедливы формулы ЛИТТЛА.
3.6Системы с произвольным распределением длительности обслуживания.
Для одноканальной системы с экспоненциальным потоком на входе и с произвольным распределением длительности обслуживания справедливы формулы l=^2*(1+^2)/(2*(1-)) n=l+,
где -коэффициент вариации. Это формулы ПОЛЛАЧЕКА - ХИНЧИНА.
Параметры u и w определяются формулами ЛИТТЛА.
3.7Система с отказами.
Пусть имеем многоканальную СМО с m каналами и простейшим потоком на входе с интенсивностью . Пусть поток обслуживания имеет произвольное распределение с интенсивностью .
Это система G/M/m. Будем считать, что заявки не обслуживаются, если приходят, когда все каналы заняты (т.е. в нашей системе нет очереди).
Характеристиками такой системы служат: пропускная способность Sz;
вероятность обслуживания рz; среднее число занятых каналов k.
Для системы нетрудно получить модель размножения - гибели, а по ней - следующие соотношения:
P( 0 )=1/(1++^2/2!+..+^m/m!)
P( i )=^i/i!*P( 0 )
Pz=1-P(m)
Sz=*Pz
k=Sz/.
Пр. Многоканальная Системы с очередью.
3 канал: T обсл = 0.30 сек. = 1/0. 3 = 3.33
T пост = 0. 125 сек. = 1/0. 125 = 8
= 8/3.33 = 2.4
P(0) = (1+2.4+3+2.4+10)^(-1) = 0.05
n = 2.5 + 2.4 = 4.9 заявок
Пр. Система c отказами.
P(0)=1/(1++^2/2! +^3/3!)
P(0)=1/(1+2.4+2.4^2/2+2.4^3/6)
P(0)=1/(1+2.4+2.88+1.052)
P(0)=0.136
P(m)=2.4^3/3!*0.136=0.143
Pz = 1 - Pm = 0. 857
Sz = * Pz = 8 * 0. 857 = 6. 856
k = Sz / =6. 856/3.333=2.057
3.8Методы приближенной оценки характеристик систем массового обслуживания.
Оценка при большой нагрузке.
Для систем с произвольным поступлением заявок и временем обслуживания не существует аналитической формулы, однако существует оценка при нагрузке близкой к 1,что важно на практике.
= / 1
В системе G/G/1
