18.  неравенство для коэффициентов ряда Фурье по произвольной ортонормированной системе функций φ_k (x) (k = 1, 2...), т. е. системе, определённой на некотором отрезке [а, b] и удовлетворяющей условиям (k ≠ l) Если функция f (x) измерима на отрезке [а, b], а функция f²(x) интегрируема на этом отрезке и — ряд Фурье f (x) по системе φ_k (x), то справедливо Б. н. Б. н. играет важную роль во всех исследованиях, относящихся к теории ортогональных рядов. В частности, оно показывает, что коэффициенты Фурье функции f (x) стремятся к нулю при n → ∞. Для тригонометрической системы функций это неравенство было получено Ф. Бесселем (См. Бессель) (1828). Если система функций φ_k такова, что для любой функции f Б. н. обращается в равенство, то оно называется Парсеваля равенством.

32. Пусть в плоскости Oxy задана область r, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой c. Предположим, что в некоторой области, содержащей r, задана непрерывная векторная функция

с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедлива формула Грина

где символ указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки. Если , то формула Грина принимает вид

где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, обозначаемый или и равный

Формула Грина в векторной форме записывается в виде Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат.

44. Оператор Гамильтона.

Вспомним определение градиента скалярной функции u .   grad u = Определим оператор, стоящий в скобках в правой части этого равенства, так:

Определение 16.1. Оператор                                                   (16.1)называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом s(«набла»).при применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический вектор» и использовать различные операции над векторами. Например:

1) если умножить «вектор» sна скалярную функцию и, то получим градиент этой функ-ции:                                  su = gradu;                                                              (16.2)

2) составив скалярное произведение s на вектор A = {Ax, Ay, Az}, получим дивергенцию вектора A:

            s· A = ;                           (16.3)

3) Перемножим теперь векторы s и а векторным образом. Результатом будет ротор вектора а:

    s× А =      (16.4)

4) рассмотрим скалярное произведение векторов s и su = grad u:

                                 s· (su) = div (grad u) = =

56. Пути решения вариационных задач

Один из путей решения вариационной задачи, т. е. задачи нахождения минимума некоторого функционала J(u) при заданных краевых условиях, состоит в сведении этой задачи к краевой задаче для дифференциального уравнения при тех же краевых условиях, которое является уравнением Эйлера для этого функционала, с последующим решением этой задачи.

Второй путь решения вариационной задачи состоит в применении вариационных методов, которые позволяют приближенно найти функцию u₀, дающую минимум функционалу J(u) и удовлетворяющую заданным краевым условиям.

55. Теплопроводности уравнение

        дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности.Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид:

          где ρ — плотность среды; c_v — теплоёмкость среды при постоянном объёме; t — время; х, у, z — координаты; Т = Т (х, у, z, t) — температура, которая вычисляется при помощи Т. у.; λ — коэффициент теплопроводности; F = F (x, y, z, t) — заданная плотность тепловых источников. Величины ρ, C_v, λ зависят от координат и, вообще говоря, от температуры. Для анизотропной среды Т. у. вместо λ содержит Тензор теплопроводности λ_ir, где i, k = 1, 2, 3.

         В случае изотропной однородной среды Т. у. принимает вид:             где ΔT — Лапласа оператор, a² = λ/(ρc_v) — коэффициент температуропроводности; f = F/(ρc_v). В стационарном состоянии, когда температура не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнение ΔТ = f/a² = F/λ или, при отсутствии источников теплоты, в Лапласа уравнение ΔТ = 0. Основными задачами для Т. у. является Коши задача и смешанная краевая задача (см. Краевые задачи).

         Первые исследования Т. у. принадлежат Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835). Важные результаты в исследовании Т. у. были получены И. Г. Петровским (См. Петровский), А. Н. Тихоновым, С. Л. Соболевым.

Интеграл Пуассона:        

        где r и φ — полярные координаты, θ — параметр, меняющийся на отрезке [0; 2π]; П. и. выражает значения функции u (r, φ), гармонической внутри круга радиуса R, через её значения f (θ), заданные на границе этого круга. Функция u (r, φ) является решением задачи Дирихле для круга .П. и. был впервые рассмотрен С. Д. Пуассоном (1823). Строгая теория П. и. была создана Г. Шварцем (1869).

         2) Интеграл         <="" div="">

        встречается в теории вероятностей и некоторых задачах математической физики. С. Д. Пуассон предложил весьма простой приём для вычисления этого интеграла. Впервые же этот интеграл был вычислен (1729) Л. Эйлером, поэтому называется также интегралом Эйлера — Пуассона.

47. Соленоидальное векторное поле.Векторное поле называется соленоидальным (вихревым), если существует векторная величина такая, что = rot – называется векторным потенциалом поля .

Свойства соленоидального поля 1.                 Для того чтобы поле  было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство div = 0, т.е. его поток через всякую замкнутую поверхность, погруженную в поле, = 0. Следовательно, соленоидальные поля лишены источников и стоков. Замечание: Это свойство можно положить в определение. Доказательство основывается на том, что = Следствие = 0 как следствие этого свойства получаем, что поток вектора соленоидального поля через две одинаково ориентированные поверхности S₁ и S₂, опирающиеся на один и тот же контур L, одинаков. 2.                 Поток соленоидального поля через два любых сечения векторной трубки одинаков. Доказательство: Отрезок векторной трубки, ограниченный сечениями S₁, S₂ и S_d, можно рассматривать как замкнутую поверхность, помещенную в соленоидальное поле. Поэтому , но , т.к. . Учитывая, что  и  направлены в противоположные стороны, и вводя (– ), получим  отсюда следует 3.                 В соленоидальном поле векторные линии либо замкнуты, либо уходят к границе поля. Так как , то векторные линии поля  не могут начинаться или кончаться в области поля, иначе в…? будет существовать сток или исток, что противоречит свойству 1. 4.                 Сумма соленоидальных векторных полей есть соленоидальное поле.

45. Потенциальное векторное поле Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярная величина , такая, что  – называется скалярным потенциалом поля. Свойства потенциального поля 1.                 В потенциальном поле отсутствуют вихри (отсутствует ротация), т.е. Доказательство: 2.                 Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю (это следствие п.1)        3.                 Работа потенциального поля при перемещении точки из одного положения в другое не зависит от пути соединяющего эти положения и равна разности потенциалов в конечных точках. Циркуляция потенциального поля не зависит от вида кривой, соединяющей две различные точки, и равна разности значений потенциала в данных точках. отсюда получаем 4.                 Векторные линии потенциального поля не могут быть замкнутыми. Доказательство от противоположного: Допустим, что есть замкнутая векторная линия L. Тогда по определению векторной линии вдоль соответствующего контура  и, следовательно, и циркуляция по нему больше нуля , что противоречит свойству 2. 5.                 Сумма потенциальных векторных полей является потенциальным полем, и потенциал суммы полей равен сумме потенциалов.