6. Производная функций комплексных переменных. Условие Коши-Риммена.

Понятие производной:

Так как рассматривается двойной предел, то можно показать, что производная существует тогда, когда выполняется условие Коши-Риммена:

Функция комплексного числа, имеющая производную, называется аналитической функцией. Действительная и мнимая часть аналитической функции не могут не могут быть произвольными.

37. Интеграл от функции комплексных переменных и его вычисление.

59. Ряд Лорана и его сходимость.

60. Особые точки аналитических функций.

61. Вычеты и их свойства. Вычисление интеграла от ФКП с помощью вычетов.

10. Предмет теории вероятности, относительная частота, понятие статистической устойчивости.

Многие явления экономической и общественной жизни носят случайный характер. Во время исследования таких явлений уже давно было отмечено, что в массовых случайных явлениях имеются определенные закономерности, что означает, что если конкретный результат случайного явления предсказать невозможно, то, если это явление повторить массово, тогда можно делать конкретные выводы.

Если провести большую серию экспериментов n случайно, и среди них зафиксировать количество m происхождений конкретного события, то w = m/n – относительная частота

Статистическая устойчивость — исходное предположение в теории вероятностей, согласно которому массовые случайные явления при неизменных условиях обладают закономерностью статистического характера: «частота события статистически колеблется около некоторого числа, называемого вероятностью события».

10. Классическое определение вероятности.

10. Операции над событиями

10. Теоремы сложения и умножения вероятности, совместные и несовместные события, зависимые и независимые события.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Р(А+В) = Р(А)+Р(В) – Р(АВ)

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Р(АВ)=Р(А) * Р(В)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Р(АВ) = Р(А)*P(B|A) = P(B)*P(A|B)

Несовместные события А и В – если появление одного события исключает появление второго.

Совместные – если появление одного события не исключает появления второго.

События называются независимыми, если происхождение одного из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

10. Формула полной вероятности, пример ее применения.

10. Формула Бернулли. Предельные теоремы Пуассона. Локальные и интегральные теоремы Муавра-Лапласса.

10. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины и её свойства.

10. Дискретные случайные величины и способы их задания. Ряд распределения.

10. Биномиальное и геометрическое распределения.

10. Распределение Пуассона

10. Непрерывные случайные величины способы их задания

10. Плотность распределения случайной величины и её свойства

10. Равномерное и показательное распределения

10. Нормальный закон распределения. Правило трёх сигм

31. Числовые характеристики случайных величин. Понятие о начальных и центральных моментах.

СВ помимо закона распределения могут также описываться числовыми характеристиками: МО, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Различают характеристики положения и характеристики рассеивания.

Мода дискретной СВ Х определяется как такое возможное значение Х_m, для которого

Мода дискретной СВ это наибольшее значение.

Модой непрерывной СВ Х называется действительное число d, определяемое как точка максимума плотности вероятности

Медианой непрерывной СВ Х называется действительное число h, удовлетворяющее условию

СВ Х называют центрированной если М(Х)=0.

СВ Х называется стандартизированной, если М(Х)=0, .

Начальным моментом k-го порядка распределения СВ Х называется действительное число , определяемое по формуле

Центральным моментом k-го порядка распределения СВ Х называется число:

, здесь а=М(Х).

32. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

33. Дисперсия СВ и её свойства и ср. квадратичная отклонение.

34. Понятие двумерной случайное величине. Функция распределения двумерной СВ и её свойства.

35. Распределение непрерывной случайной величины. Распределение компонент двумерной случайной величины.

1.      Равномерный закон распределения.

На практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той же плотностью вероятностей).

Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероят­ности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления. Про такие величины говорят, что они распределены равномерно, т. е. имеют равномерное распределение.

 Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:

Иногда это распределение называют законом равномерной плотности. Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то

откуда с=1/(b-a).

 Теперь функцию f(x) можно представить в виде

  

Построим функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x) на интервале [a, b]:

Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

 Найдем числовые характеристики.

Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:

Таким образом, математическое ожидание случайной вели­чины, равномерно распределенной на отрезке [a, b] совпадает с серединой этого отрезка.

Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:

откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (,), принадлежащий целиком отрезку [a, b]: 

Геометрически эта вероятность представляет  собой  площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

Пример1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

СВ- время ожидания автобуса имеет равномерное распределение. Тогда искомая вероятность будет равна: 

Пример2. Ребро куба х измерено приближенно. Причем

  

Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Решение:

Объем куба- случайная величина, определяемая выражением У= Х³. Тогда математическое ожидание равно:

Дисперсия: