- •Контрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема 3. Аналитическая геометрия
- •Список литературы
- •Решение типового варианта контрольной работы Задача №1.
- •Задача №2.
- •Задача №3.
- •Задача №4.
- •Задача №5.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 1.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 2.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 3.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 4.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 5.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 6.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 7.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 8.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 9.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 10.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 11.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 12.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 13.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 14.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 15.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 16.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 17.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 18.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 19.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 20.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 21.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 22.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 23.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 24.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 25.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 26.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 27.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 28.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 29.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 30.
Контрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема 3. Аналитическая геометрия
Уравнения линии в декартовой системе координат.
Параметрические уравнения линии.
Плоскость, прямая на плоскости и в пространстве.
Линии второго порядка.
Список литературы
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е изд., стер. - М.: Физматлит, 2002. – 317 с.
Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: - М.: Физматлит, 2003. – 303 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб: Профессия, 2001. – 199 с.
Привалов И. И. Аналитическая геометрия: Учеб. – 33-е изд., стер. – СПб; М.: Лань, 2004. – 299 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полн. курс.-2-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2004.-603 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: учеб. пособие в 3 т.-СПб: Политехника. т.1. -2003.-704 с.
Решение типового варианта контрольной работы Задача №1.
Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:
уравнение стороны AD;
уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
длину высоты BK;
уравнение диагонали BD;
тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Решение.
Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки и .
Рис. 1
Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.
Рис. 2
Составим уравнение прямой AD.
а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид
(3.1)
По условию , . Подставим координаты точек и в уравнение (3.1): , т.е. .
Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства: или .
Из этого уравнения выразим : ; . Получили уравнение вида - уравнение с угловым коэффициентом.
б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид
(3.2)
где направление определяется угловым коэффициентом .
Условие параллельности двух прямых и имеет вид
(3.3)
По условию задачи , прямая . Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как прямая параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, уравнение прямой имеет вид .
Запишем уравнение прямой в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: . Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой : .
Запишем уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразим из общего уравнения: .
2) Составим уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Условие перпендикулярности двух прямых и имеет вид
(3.4)
Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как высота перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, угловой коэффициент высоты равен и уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение высоты в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .
3) Найдем длину высоты как расстояние от точки до прямой .
Расстояние от точки до прямой представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой
(3.5)
Так как перпендикулярна , то длина может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты равна = .
4) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точки и , где - середина отрезка .
а) Если и , то координаты точки - середины отрезка , определяются формулами
(3.6)
По условию , . В силу формул (3.6) имеем: , . Следовательно .
б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка (середина отрезка ) является точкой пересечения диагоналей и диагональ проходит через точку .
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . В силу формулы (3.1) уравнение прямой (диагонали ) имеет вид: или . Запишем это уравнение в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .
5) Найдем тангенс угла между диагоналями и .
а) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно, . Общее уравнение диагонали имеет вид , уравнение с угловым коэффициентом – вид , угловой коэффициент прямой равен .
б) Уравнение диагонали имеет вид , ее угловой коэффициент .
в) Тангенс угла между прямыми и определяется формулой
Следовательно, . Отсюда .