9. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы

 

Определение 4.1. Минором порядка  матрицы  называется определитель квадратной матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких-либо выбранных  строк и  столбцов матрицы

Определение 4.2.  В матрице  порядка  минор порядка  называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка  и выше равны нулю, или не существуют вовсе.

Определение 4.3. Порядок базисного минора матрицы  называется рангом матрицы и обозначается символом

Замечание. Из приведённых определений следует, что ранг матрицы равен наибольшему из порядков её миноров, отличных от нуля.

Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод окаймления миноров. Рассмотрим применение этого способа на следующем примере.

Пример. Определить ранг матрицы

Среди миноров второго порядка матрицы  существует, по крайней мере, один, отличный от нуля. Например, минор матрицы  полученный вычёркиванием из этой матрицы третьей строки, третьего, четвёртого и пятого столбцов, отличен от нуля:

следовательно, ранг данной матрицы не меньше двух.

Найдём миноры третьего порядка матрицы Все десять миноров третьего порядка равны нулю, поэтому ранг данной матрицы не может быть равен трём. Таким образом,

Другой способ вычисления ранга матрицы основан на применении элементарных преобразований матрицы и использовании следующих утверждений.

10. Критерий равенства нулю определителя матрицы(с докозательством)

Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.  

11.Системы линейных алгебраических уравнений,их разновидности.Понятие решения,совместности,определенности системы

Разновидности систем линейных уравнений

Система уравнений называется неоднородной, если хотя бы один свободный член уравнения не равен нулю, однородной - если все свободные члены уравнений равны нулю.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система, имеющая единственное решение, называется определенной, система, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределенной.

Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Понятие решения

Все те значения неизвестных при которых все уравнения системы превращаются в правильные тождества(левая часть равна правой)

Понятие совместности

Существуют такие значения неизвестных(решения системы) при которых все уравнения превращаются в тождества

Понятие определенности системы

Если система имеет единственное решение она называется определенной.

12.Теорема Кронекера Капелли. Доказательство

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде: x1  + x2 + … + xn

 

            Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

 

A =

~ .                            RgA = 2. A* =           RgA* = 3.

Система несовместна.