§2. Классическая электронная теория металлов.

Электрический ток в металлах осуществляется электронами проводимости, которым согласно основным представлениям классической электронной теории металлов приписываются следующие свойства:

- электроны проводимости в металле рассматриваются как одноатомный идеальный газ, концентрация которого n₀ 10²⁸-10²⁹ м^-3;

- электроны проводимости совершают хаотическое тепловое движение, сталкиваются с ионами, совершающими тепловые колебания относительно положений равновесия;

- предполагается, что длина свободного пробега электронов порядка межатомного расстояния (а~10^-10 м):

<λ> ~ 10^-10 м, (2.1)

а средняя энергия теплового движения

= kT, (2.2)

где m – масса электрона, k – постоянная Больцмана, Т – температура.

При Т =273 К V_кв 10⁵ (2.3)

- движение электронов в металле подчиняется законам классической физики;

- под действием поля электроны в металле движутся с некоторой скоростью, называемой скоростью дрейфа V_др . Максимальное значение (V_др)_max можно оценить с помощью (1.4) по экспериментальному факту: максимальное значение плотности тока j_max в металлах не может превышать значения 10 j_max=en₀(V_др) _max , j_max<10

(V_др)_max< ( 10^-3 ). (2.4)

Из (2.3) и (2.4) следует: скорость дрейфа на много порядков меньше скорости хаотического теплового движения

V_др V_кв (2.5)

На основе изложенных выше представлений классическая электронная теория металлов выводит все основные законы, описывающие процессы в металлах.

§3. Подвижность носителей заряда. Проводимость. Закон Ома в локальной и интегральной формах. Эдс. Напряжение.

Используя второй закон Ньютона, найдём ускорение электрона, движущегося в поле Е

. (3.1)

Обозначим среднее время пробега электрона между соударениями с ионами <τ> . Полагая скорость направленного движения электрона после соударениями раной нулю, находим среднее значение максимальной скорости электрона перед соударением с ионами

v_mах = <τ> , (3.2)

Среднее же значение скорости между соударениями <v>= <v_max>/2 и

<v> = <τ> , (3.3)

Из (3.3) следует, что средняя скорость дрейфа пропорциональна величине напряженности поля E, а коэффициент пропорциональности µ

(3.4)

называется подвижностью носителя заряда.

Запишем плотность тока (1.4) в металле используя среднее значение скорости дрейфа <v> (3.3)

= qn₀ =еn₀ = . (3.5)

Величина γ равная

γ= (3.6)

называется проводимостью, а уравнение

= γ (3.7)

законом Ома в локальной форме.

Аналогичный подход к рассмотрению тока осуществляется и для жидкостей и газов с некоторыми уточнениями.

В пространстве, где протекает электрический ток, на заряды могут действовать силы как со стороны других зарядов, характеризуемые электростатическим полем Е, так и силы не электростатического происхождения, называемые сторонними. Сторонние силы действуют на носители тока внутри источников тока (аккумуляторов, электрических генераторов и т.п.). Сторонние силы *, также как и электростатические , характеризуют напряжённостью

* = ^*/q (3.8)

Закон Ома (3.7) в присутствии сторонних сил примет вид

= γ ( + ^*) . (3.9)

Используя (3.9), найдём выражение для величины тока на некотором участке цепи. Умножим скалярно обе части (3.9) на вектор элемента участка d :

d = γ ( d + ^*d ). (3.10)

Знак скалярных произведений d и ^*d плюс(+), если вектора совпадают по направлению, и минус(-), если их направления противоположны. Проинтегрируем (3.10) по длине цепи (рис.3.1) с учётом сказанного. Для простоты будем считать цепь прямолинейной, вектора , и ^* не меняющимися по сечению S.

Рис.3.1

, (3.11)

, (3.12)

. (3.13)

В соответствии с (I.4.7) интеграл , т.е численно равен работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль цепи. Смысл интеграла , называемого электродвижущей силой (ЭДС) и обозначаемого ε (рис.3.2), аналогичен – его величина численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль цепи. Действительно,

ε = = А^*/q. (3.14)

Из (3.11) - (3.14) получим

= ε (3.14)

Величину ρ=1/γ называют удельным сопротивлением проводника.

Умножим и разделим левую часть на S: = , где величину R

(3.14)

называют сопротивлением проводника.

Окончательно, (3.14) записывается в виде

= ε (3.15)

и носит название закона Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме или обобщённого закона Ома. В этой формуле перед правой частью выбирается знак «+», если направление тока на участка 1-2 совпадает с направлением обхода участка 1-2 и знак «-», если нет; для ЭДС ε выбирается знак «+»,если ЭДС способствует движению положительных зарядов в направлении обхода (в направлении 1-2), и знак «-»,если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в направлении обхода 1-2. (рис. 3.2).

Рис. 3.2.

Суммарная работа кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль участка цепи

U=( ) ε (3.16)

называется напряжением на участке. В случае равенства нулю одного из слагаемых напряжение совпадает по величине либо с разностью потенциалов, либо с ЭДС. Величину IR называют падением напряжения на участке цепи.