5.3. Метод трапеций

Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x₀, x₁, x₂,…, x_n = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.

Рис. 5.7

Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [x_i, x_i+1] длины h = , равна h , то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу трапеций:

I =  I_тр = h = (5.7)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I_тр |  h², (5.8)

где M₂ = |f "(x)|.

Пример 5.2.

Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.

Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим:

I_тр = 0.74621079.

Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)|  M₂ = 2. Поэтому по формуле (5.8)

| I – I_тр |  (0.1)²  1.7 10^-3.

Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.

5.4. Метод Симпсона (метод парабол)

Заменим график функции y = f(x) на отрезке [x_i, x_i+1], i = 0, 2, … , n – 1, параболой, проведенной через точки (x_i, f(x_i)), (x ,f(x )), (x_i+1, f(x_i+1)), где x - середина отрезка [x_i, x_i+1]. Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L₂(x) с узлами x_i, x , x_i+1. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

y = L₂(x) =

f(x ) + (x – x ) + (x - x )², (5.9)

где h = .

Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке [x_i, x_i+1], получим

I_i =  = ( f(x_i) + 4f(x ) + f(x_i+1)). (5.10)

Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

I =  I_С = ( f(x₀) + f(x_n) + 4 + 2 ). (5.11)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную четвертого порядка f ⁽⁴⁾(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I_С |  h⁴, (5.12)

где M₄ = | f ⁽⁴⁾(x)|.

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [a, b], четно , т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [x_i, x_i+1] длины h рассматривать отрезок [x_2i, x_2i+2] длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:

I  (f(x₀) + f(x_2m) + 4 + 2 ), (5.13)

а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I_С |  h⁴, (5.14)

Пример 5.3.

Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.

Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11) , получим:

I_С = 0.74682418.

Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f ⁽⁴⁾(x).

f ⁽⁴⁾(x) = (16x⁴ – 48x² + 12) e , | f ⁽⁴⁾(x)|  12.

Поэтому

| I – I_С |  (0.1)⁴  0.42  10^-6.

Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим , что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.