1.
Задачі
на класичну, статистичну і геометричну
ймовірності
В
урні є 10 куль: 3 білих і 7 чорних. З урни
навмання виймається одна куля. Яка
ймовірність того, що ця куля: а) біла;
б) чорна?
Зі
слова «НАВМАННЯ» вибирається навмання
одна буква. Яка ймовірність того, що
це буква «Я»? Яка ймовірність того,
що це гласна?
Кидають
дві гральні кістки. Яка ймовірність
випадіння на двох кістках у сумі не
менше 9 очок? Яка ймовірність випадіння
одиниці, принаймні, на одній кістці?
Дитина
грає з чотирма буквами розрізний
абетки А, А, М, М. Яка ймовірність того,
що при випадковому розташуванні букв
у ряд вона одержить слово «МАМА»?
При
наборі телефонного номера абонент
забув дві останні цифри і набрав їх
навмання, пам’ятаючи тільки що ці
цифри непарні і різні. Знайти ймовірність
того, що номер набраний правильно.
Серед
25 екзаменаційних білетів 5 «гарних».
Два студенти по черзі беруть по одному
білету. Знайти ймовірності наступних
подій: А
= {перший студент узяв гарний білет};
В
= {другий студент узяв гарний білет);
С
= {обоє студента взяли гарні білети}.
У
партії з 50 виробів 5 бракованих.
Навмання вибирається 6 виробів.
Визначити ймовірність того, що серед
цих 6 виробів 2 бракованих.
Знайти
ймовірність того, що дні народження
12 чоловік прийдуться на різні місяці
року.
У
ліфт семиповерхового будинку на
першому поверсі ввійшли 3 чоловіки.
Кожний з них з однаковою ймовірністю
виходить на будь-якому поверху,
починаючи з другого. Знайти ймовірності
наступних подій: А
= {усі пасажири вийдуть на четвертому
поверсі); В
= {усі пасажири вийдуть одночасно (на
одному поверсі)}; С
= {усі пасажири вийдуть на різних
поверхах).
У
шафі знаходяться 10 пар черевиків
різних ґатунків. Випадково вибирають
4 черевики. Знайти ймовірність того,
що серед вибраних черевиків відсутні
парні.
У
магазин надійшло 30 холодильників,
п’ять з них мають заводський дефект.
Випадково вибирається один холодильник.
Яка ймовірність того, що він не має
дефекту?
В
коробці знаходиться шість однакових
по формі і близьких по діаметру
свердлів. Випадково свердла виймаються
з коробки. Яка ймовірність того, що
свердла витягнуться в порядку зростання
їх діаметра?
Комісія
з якості раз на місяць перевіряє
якість продуктів у двох з 30 магазинів,
серед яких знаходиться і два відомих
вам магазина. Яка ймовірність того,
що на протязі місяця вони обидва
будуть перевірені?
На
станцію прибули 10 вагонів різної
продукції. Вагони позначені номерами
від одного до десяти. Знайти ймовірність
того, що серед п’яти відібраних для
контролю вагонів будуть вагони з
номерами 2 і 5?
З
20 акціонерних товариств (АТ) чотири
є банкрутами. Громадянин придбав по
одній акції шести АТ. Яка ймовірність
того, що серед куплених акцій дві
виявляться
акціями
банкрутів?
На
склад привезли 50 ящиків комплектуючих
виробів для одного з видів ЕОМ, але
серед них виявилось чотири ящики
комплектуючих для іншого виду ЕОМ.
Навмання взяли шість ящиків. Знайти
ймовірність того, що в одному з цих
шести ящиків виявляться некомплектні
деталі.
В
партії з 15 однотипних пральних машин
5 машин виготовлені на заводі А,
а 10 – на заводі В.
Випадково відібрано 5 машин. Знайти
ймовірність того, що дві з них
виготовлені на заводі А.
У
збирача є 10 деталей, що мало відрізняються
одна від одної, з них чотири – першого,
по дві – другого, третього і четвертого
видів. Яка ймовірність того, що серед
шести взятих одночасно деталей три
буде першого виду, два – другого і
одна – третього?
10
студентів умовилися їхати визначеним
потягом, але не домовилися про вагон.
Яка ймовірність того, що жоден з них
не зустрінеться з іншим, якщо в складі
потягу 10 вагонів? Передбачається, що
всі можливості студентів по вагонах
мають рівні ймовірності.
Серед
17 студентів групи, з яких 8 юнаків
розігрується 7 квитків. Яка ймовірність
того, що серед власників квитків
виявиться 4 дівчини?
Сім
касет розташовуються на полиці
випадково.
Яка ймовірність того, що 3 касети з
записами одного концерту виявляться
поруч?
У
шухляді 20 деталей, з них 5 бракованих.
Із шухляди навмання виймають 6 деталей.
Яка ймовірність того, що з вийнятих
деталей дві браковані?
У
шухляді знаходитися
50
котушок білого кольору; 20 – чорного
, 30 – синього. Чому дорівнює ймовірність
того, що 2 узяті навмання котушки
будуть: синього кольору; кольорові;
не кольорові?
В
урні 15 куль з номерами від 1 до 15. Яка
ймовірність витягнути кулю з парним
номером? З номером, кратним п’яти?
Відділ
технічного контролю знайшов п’ять
бракованих виробів у партії з тисячі
виробів. Знайти частоту появи бракованих
виробів.
Після
бурі на ділянці між 10-м і 100-м кілометрами
телефонної лінії відбувся обрив
проводу. Знайти ймовірність того, що
обрив відбувся між 35-м і 40-м кілометрами
(передбачається рівно можливий розрив
в будь-якій точці лінії).
Куб,
усі грані якого пофарбовані, розпиляний
на 1000 кубиків однакового розміру.
Отримані кубики ретельно перемішані.
Визначити ймовірність того, що вийнятий
навмання кубик буде мати: а) одну
пофарбовану грань; б) дві пофарбовані
грані; в) три пофарбовані грані; г) усі
не пофарбовані грані.
У
туристів було сім консервних банок
(три з м’ясом, дві з овочами і дві з
фруктами). Під час дощу етикетки на
банках відклеїлися. А усі банки
однакові. Яка ймовірність того, що
три банки, розкриті навмання, будуть
відрізнятися вмістом?
Оля
і Коля домовилися зустріти Новий рік
у компанії з десяти чоловік. Вони обоє
хотіли сидіти за святковим столом
поруч. Знайти ймовірність виконання
їхнього бажання, якщо серед друзів
прийнято місця розподіляти по
жеребкуванню.
Територія
нафтобази має форму прямокутника зі
стороною
м
и
м.
На території мається 4 круглих баки
для нафти діаметром 10 м кожний. Яка
ймовірність прямої поразки баків
бомбою, що потрапила на територію
нафтобази, якщо влучення бомби в
будь-яку точку однаково ймовірно.
2.
Задачі на теореми складання і множення
ймовірностей
Припустимо,
що для однієї торпеди ймовірність
потопити корабель дорівнює 1/2. Яка
ймовірність того, що 4 торпеди потоплять
корабель, якщо для затоплення корабля
досить одного влучення торпеди в
ціль?
Суспільство
з п
чоловік сідає за круглий стіл. Знайти
ймовірність того, що дві визначені
особи виявляться поруч.
Два
мисливця стріляють у вовка, причому
кожний робить по одному пострілу. Для
першого мисливця ймовірність влучення
в ціль 0,7, для другого 0,8. Яка ймовірність
влучення у вовка (хоча б при одному
пострілі)? Як зміниться результат,
якщо мисливці зроблять по два постріли?
Гардеробниця
видала одночасно номерки чотирьом
лицям, що здали у гардероб свої
капелюхи. Після цього вона переплутала
всі капелюхи і повісила їх навмання.
Знайти ймовірності наступних подій:
А
= {кожному з чотирьох осіб гардеробниця
видасть його власного капелюха};
В
= {рівно три особи одержать свої
капелюхи};
С
= {рівно дві особи одержать свої
капелюхи);
D
=
{рівно одна особа одержить свій
капелюх};
Е
= {жодна
з чотирьох осіб не одержить свого
капелюха}.
На
полиці знаходиться 10 книг, розставлених
у довільному порядку. З них три книги
по теорії імовірностей, три – по
математичному аналізу і чотири – по
лінійній алгебрі. Студент навмання
дістає одну книгу. Яка ймовірність
того, що він візьме книгу по теорії
ймовірностей або по лінійній алгебрі?
Ймовірність
правильного оформлення рахунку на
підприємстві
складає 0,95. Під час аудиторської
перевірки були взяті два рахунки. Яка
ймовірність того, що тільки один з
них оформлений вірно?
У
районі 100 селищ. У п’ятьох з них пункти
прокату сільгосптехніки. Випадково
відібрані два селища. Яка ймовірність
того, що в них виявляться
пункти
прокату?
У
місті знаходяться 15 продовольчих і
5 непродовольчих магазинів. Випадково
були відібрані три магазини. Знайти
ймовірність того, що всі ці магазини
непродовольчі.
Підприємство
забезпечує регулярний випуск продукції
при безвідмовному постачанні
комплектуючих від двох суміжників.
Ймовірність відмови в постачанні
продукції від першого з сумісників
дорівнює 0,05, від другого – 0,08. Знайти
ймовірність збою у
роботі підприємства.
З
20 ощадбанків 10 розташовані за межею
міста. Для обстеження випадково
відібрано 5 ощадбанків. Яка ймовірність
того, що серед відібраних виявиться
у межах міста: а) 3 ощадбанки; б) хоча
б один?
В
шухляді, що містить 5 пар взуття, з
яких три пари чоловічого, а дві пари
жіночого, перекладають навмання 2
пари в іншу шухляду, що містить однакову
кількість пар жіночого і чоловічого
взуття. Яка ймовірність того, що в
другій шухляді після цього буде
однакова кількість пар чоловічого і
жіночого взуття?
У
магазині є 30 телевізорів, причому 20
з них імпортних. Знайти ймовірність
того, що серед 5 проданих на протязі
дня телевізорів виявиться більше 3
імпортних телевізорів, припускаючи,
що ймовірності покупки телевізорів
різних марок однакові.
Навмання
узятий телефонний номер містить 5
цифр. Яка ймовірність того, що в ньому
всі цифри: а) різні; б) однакові; в)
непарні? Відомо, що номер телефону не
починається з цифри нуль.
Для
проведення змагання 16 волейбольних
команд розбиті по жеребу на дві
підгрупи (по восьми команд у кожній).
Знайти ймовірність того, що дві
найбільш сильні команди виявляться:
а) у різних підгрупах; б) в одній
підгрупі.
Студент
знає 20 з 25 питань програми. Залік
вважається зданим, якщо студент
відповість не менш чим на 3 з 4 поставлених
у білеті питань. Глянувши на перше
питання білету, студент знайшов, що
він його знає. Яка ймовірність того,
що студент: а) здасть залік; б) не здасть
залік?
На
фірмі працюють 8 аудиторів, з яких 3 –
високої кваліфікації, і 5 програмістів,
з яких 2 – високої кваліфікації. У
відрядження треба відправити групу
з 3 аудиторів і 2 програмістів. Яка
ймовірність того, що в цій групі
виявиться принаймні 1 аудитор високої
кваліфікації і хоча б 1 програміст
високої кваліфікації, якщо кожен
фахівець має рівні можливості поїхати
у відрядження.
Експедиція
видавництва відправила газети в три
поштових відділення. Ймовірність
своєчасної доставки газет у перше
відділення дорівнює 0,95, у друге
відділення – 0,9 і в третє – 0,8. Знайти
ймовірність наступних подій: а) тільки
одне відділення отримає газети вчасно;
б) хоча б одне з відділень отримає
газети з запізненням.
Ймовірність
своєчасного виконання студентом
контрольної роботи по кожній з трьох
дисциплін дорівнює відповідно 0,6, 0,5
і 0,8. Знайти ймовірність своєчасного
виконання контрольної роботи студентом:
а) з двох дисциплін; б) хоча б з двох
дисциплін.
Контролер
ВТК, перевірив якість пошитих 20 пальто,
встановлено, що 16 з них першого ґатунку,
а інші – другого. Знайти ймовірність
того, що серед взятих навмання з партії
трьох пальто одне буде другого ґатунку.
Серед
20 годинників, яки поступили до ремонту
8 потребують загального чищення
механізму. Яка ймовірність того, що
серед узятих навмання 8 годинників
по крайній мері двоє потребують в
загальному очищенні механізму?
У
коробці змішані електролампи однакового
розміру і форми: по 100 Вт – 7 штук, по
75 Вт – 13 штук. Вийняті навмання 3 лампи.
Яка ймовірність того, що: а) вони
однакової потужності; б) хоча б дві э
них по 100 Вт?
У
коробці 10 червоних, 3 синіх і 7 жовтих
олівців. Навмання виймають 3 олівці.
Яка ймовірність того, що вони усі: а)
різних кольорів; б) одного кольору?
Пакети
акцій, що є на ринку цінних паперів
можуть дати прибуток власнику з
ймовірністю 0,5 (для кожного пакета).
Скільки пакетів акцій різних фірм
потрібно придбати, щоб з ймовірністю,
не меншою 0,96875, можна було очікувати
прибуток хоча б по одному пакету
акцій?
На
зв’язці 5 ключів. До замка підходить
тільки один ключ. Знайти ймовірність
того, що буде потрібно не більше двох
спроб відкрити замок, якщо випробуваний
ключ у подальшому не використовується.
Радист
тричі викликає кореспондента.
Ймовірність того, що буде прийнятий
перший виклик, дорівнює 0,2, другий –
0,3, третій – 0,4. Події, які складаються
в тім, що даний виклик буде почутим,
незалежні. Знайти ймовірність того,
що кореспондент почує виклик радиста.
В
одній урні 2 білі і 6 чорних куль, у
другий – 4 білі і 2 чорних. З першої
урни навмання переклали 2 кулі в другу,
після чого з другої навмання дістали
одну кулю. Віна виявилася білою. Яка
ймовірність того, що з першої урни в
другу переклали 2 білі кулі?
Для
кожної з трьох телевізійних камер
ймовірність включення в даний момент
дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того,
що: а) у даний момент включена хоча б
одна камера; б) включені дві камери;
в) включені всі камери; г) не включена
жодна камера.
На
станцію зв’язку надійшло 20 телеграм,
які адресовані у чотири різних пункти
(по 5 у кожен пункт). З усіх телеграм
вибираються навмання чотири. Знайти
ймовірність подій: а) усі телеграми
адресовані в один пункт; б) усі телеграми
адресовані в різні пункти.
У
шухляді є 20 виробів першого ґатунку
і 5 – вищого ґатунку. Із шухляди
навмання беруть один за другим два
вироби. Знайти ймовірність того, що
обоє вироби виявляться вищого ґатунку.
2.30
Ймовірності влучення в ціль при
стрілянині з трьох гармат відповідно
дорівнюють 0,7; 0,8 і 0,9. Знайти ймовірність
хоча б одного влучення при одному
залпі з усіх гармат.
3.
Задачі на формулу повної ймовірності
та формули Бейеса
Є
дві однакових шухляди з кулями. У
першій шухляді 2 білих і 1 чорна кулі,
в другій – 1 біла і 4 чорних кулі. Наугад
вибирають одну шухляду і виймають з
неї кулю. Яка, ймовірність, що вийнята
куля виявиться білою?
У
цеху працюють 20 верстатів. З них 10
марки А,
6 марки В
і 4 марки С.
Ймовірність того, що якість деталі
відмінна, для цих верстатів відповідно
дорівнює: 0,9; 0,8 і 0,7. Який відсоток
відмінних деталей випускає цех у
цілому?
Припускають,
що 5 % усіх чоловіків і 0,25 % усіх жінок
дальтоніки. Навмання обрана особа
страждає дальтонізмом. Яка ймовірність
того, що це чоловік? (Вважати, що
чоловіків і жінок однакове число)
На
фабриці, що виготовляє болти, перша
машина робить 25 %, друга – 35 %, третя –
40 % усіх виробів. У їхній продукції
брак складає відповідно 5, 4 і 2 %. Яка
ймовірність того, що випадково
відібраний болт а) дефектний? б) він
був зроблений першою, другою, третьою
машиною?
Уся
продукція цеху перевіряється двома
контролерами, причому перший контролер
перевіряє 55 % виробів, а другий – інші.
Ймовірність того, що перший контролер
пропустить нестандартний виріб
дорівнює 0,01, другий – 0,02. Узятий
навмання виріб, маркірований як
стандартний, виявився нестандартним.
Знайти ймовірність того, що цей виріб
перевірявся другим, контролером.
На
підприємстві працюють дві бригади
робітників: перша виробляє в середньому
0,75 продукції з відсотком браку 4 %,
друга – 0,25 продукції з відсотком
браку 6 %. Знайти ймовірність того, що
узятий навмання виріб: а) виявиться
бракованим; б) виготовлено другою
бригадою за умови, що виріб виявився
бракованим.
Троє
робітників виготовляють однотипні
вироби. Перший робітник виготовив 40
виробів, другий – 35,
третій –25. Ймовірність браку у першого
робітника 0,03, у другого – 0,02, у третього
– 0,01. Взятий навмання виріб виявився
бракованим. Визначити ймовірність
того, що цей виріб зробив другий
робітник.
За
результатами перевірки контрольних
робіт виявилося, що в першій групі
одержали позитивну оцінку 20 студентів
з 30, а в другій – 15 з 25.
Знайти
ймовірність того, що наугад вибрана
робота, яка має позитивну оцінку,
написана студентом першої групи.
В
даний район вироби постачаються
трьома фірмами у співвідношенні
5:8:7. Серед продукції першої фірми
стандартні вироби складають 90 %, другої
– 85 %, третьої –75 %. Знайти ймовірність
того, що: а) придбаний виріб нестандартний;
б) придбаний виріб стандартний. Яка
ймовірність того, що він вироблений
третьою фірмою?
Два
стрілки зробили по одному пострілу
в ціль. Ймовірність влучення в мішень
для першого стрільця дорівнює 0,6, а
для другого – 0,3. У мішені виявилася
одна пробоїна. Знайти ймовірність
того, що вона належить першому
стрільцеві.
Уся
продукція цеху перевіряється двома
контролерами, причому перший контролер
перевіряє 55 % виробів, а другий – інші.
Ймовірність того, що перший контролер
пропустить нестандартний виріб
дорівнює 0,01, другий – 0,02. Узятий
навмання виріб, маркірований як
стандартний, виявився нестандартним.
Знайти ймовірність того, що цей виріб
перевірявся другим, контролером.
Ймовірність
виготовлення виробу з браком на даному
підприємстві дорівнює 0,04. Перед
виготовленням виріб піддається
спрощеній перевірці, яка у випадку
бездефектного виробу пропускає його
з ймовірністю 0,96, а у випадку виробу
з дефектом – з ймовірністю 0,05.
Визначити: а) яка частина виготовлених
виробів виходить з підприємства? б)
яка ймовірність того, що виріб, що
витримав спрощену перевірку бракований?
В
обчислювальній лабораторії є 6
клавішних автоматів і 4 напівавтомати.
Ймовірність того, що за час виконання
розрахунку автомат не відмовить
дорівнює 0,95, для напівавтомата ця
ймовірність дорівнює 0,8. При виконанні
розрахунків машина не відмовила. Яка
ймовірність, що обчислення проводилися
на напівавтоматі?
На
базу надійшли швейні вироби, з яких
25 % виготовлені фабрикою №1, 35 % –фабрикою
№2, і 40 % – фабрикою №3. Фабрика №1
випускає 99 % вищого ґатунку, №2 – 95 %,
№3 – 97 %. Яка ймовірність того, що
узятий навмання виріб є бракованим
(не вищого ґатунку)?
З
двадцяти стрільців чотири попадають
у мішень з ймовірністю 0,9; десять – з
ймовірністю 0,8 і шість – з ймовірно
0,6. Знайти ймовірність того, що навмання
обраний стрілець влучить у мішень.
На
склад надійшли однакові холодильники,
зроблені двома заводами. Перший завод
поставляє 70 %, другий – 30 % усієї
кількості. Перший завод випускає 90 %
продукції, здатної прослужити
гарантійний термін, другий – 95 %.
Визначити ймовірність того, що навмання
узятий холодильник прослужить
гарантійний термін?
В
одній шухляді 20 стандартних і 5
нестандартних деталей, у другій – 8
стандартних і 3 нестандартні деталі.
З першої шухляди в другу навмання
переклали одну деталь, потім із другої
вийняли одну деталь. Яка ймовірність
того, що вона стандартна?
У
піраміді встановлено 10 гвинтівок, з
яких 4 обладнані оптичним прицілом.
Ймовірність того, що стрілець вразить
мішень із гвинтівки, обладнаної
оптичним прицілом дорівнює 0,95, з
гвинтівки без прицілу ця ймовірність
дорівнює 0,8. Стрілець влучив в мішень
з навмання взятої гвинтівки. Що
імовірніше: стрілець стріляв із
гвинтівки з прицілом або без нього?
Два
автомати роблять деталі, що надходять
на один конвеєр. Ймовірність одержання
неполагодженої деталі на першому
автоматі 0,06, на другому – 0,09.
Продуктивність другого автомата
вдвічі, більша за першого. Знайти
ймовірність того, що навмання взята
з конвеєра деталь буде неполагодженою.
У
магазин надійшли вироби з двох заводів,
причому з першого надходить виробів
у 3 рази більше, ніж із другого. Перший
завод випускає в середньому 0,5 % браку,
другий – 0,2 %. Придбаний в магазині
виріб бракований. Яка ймовірність
того, що він випущений на першому
заводі?
У
телеательє є 4 кінескопи. Ймовірність
витримати гарантійний термін служби
для кожного кінескопа відповідно
дорівнює 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Знайти ймовірність
того, що узятий навмання кінескоп
витримає гарантійний термін.
Для
деякої місцевості середнє число
дощових днів у липні дорівнює 10. Яка
ймовірність того, що перше і друге
липня будуть дощовими?
Збирач
одержав 3 коробки деталей, виготовлених
заводом №1 і 2 коробки – заводом №2.
Ймовірність того, що деталь заводу
№1 стандартна, дорівнює 0,8, а заводу
№2 – 0,9. Збирач навмання взяв деталь
з навмання обраної коробки. Знайти
ймовірність того, що взята деталь
стандартна.
Страхова
компанія поділяє застрахованих на
класи ризику: I клас – малий ризик; II
клас – середній; III клас – великий
ризик. Серед цих клієнтів 50% - першого
класу ризику; 30% – другого і 20% –
третього. Ймовірність необхідності
виплачувати страхову винагороду для
I класу ризику дорівнює 0,01, II – 0,03; III
– 0,08. Яка ймовірність того, що: а)
застрахований одержить грошову
винагороду за період страхування; б)
застрахований, що отримав винагороду
належить до групи малого ризику.
Перша
фабрика виробляє 3000 приладів, друга
– 10000, третя – 1000. Перша фабрика
виробляє в середньому 1 % браку, друга
– 0,5 %, третя – 1,5 %. Взятий навмання
прилад виявився бракованим. Яка
ймовірність того, що прилад виготовлений
другою фабрикою?
У
рибака є три улюблених місця риболовлі,
які він відвідує з однаковою ймовірністю.
Ймовірність клювання на першому місці
дорівнює 1/3, на другому – 1/2, на третьому
– 1/4. Рибалка закинув вудку у навмання
обраному місці, і рибка клюнула. Знайти
ймовірність того, що він вудив рибу
на першому місці.
По
каналі зв’язку передається одна з
послідовностей букв: АААА,
ВВВВ, СССС,
причому, ймовірності кожної з
послідовностей дорівнюють відповідно
0,3; 0,4; 0,3. Кожна буква приймається
правильно з ймовірністю 0,6 і з
ймовірністю 0,2 приймається за інші
букви. Передбачається, що букви
спотворюються незалежно друг від
друга. Знайти ймовірність того, що
буде прийнята послідовність,
АААА,
якщо прийняли послідовність АВСА.
Число
вантажних машин, що проїжджають по
шосе, на якому є бензоколонка,
відноситься до числа легкових машин
як 3:2. Ймовірність того, що буде
заправляться в даний час вантажна
машина дорівнює 0,1; легкова машина –
0,2. До бензоколонки під’їхала машина.
Знайти ймовірність того, що це вантажна
машина.
У
першому цеху заводу виробляється в
середньому 90 % стандартних деталей,
у другому – 95 %, у третьому – 85 %. У
складальний цех цього ж заводу
надходить 50 % деталей з першого цеху,
30 % - з другого і 20 %-з третього. Знайти
ймовірність того, що деталь, навмання
узята збирачем, виявиться стандартною.
3.30.Один
владика, якому наскучив звіздар зі
своїми помилковими показаннями,
вирішив стратити його. Однак він надав
можливість звіздареві залишитися
живим. Йому було велено розподілити
по двом урнам 2 білі і 2 чорні кулі. Кат
вибере навмання урну і з неї дістане
кулю. Якщо куля буде чорною, звіздаря
стратять, білою – помилують. Яким
чином звіздар повинний був розподілити
кулі в урнах, щоб забезпечити собі
найбільшу ймовірність залишитися
живим?
4.
Задачі на
використання
формул при повторних випробуваннях
Спостереженнями
встановлено, що в деякій місцевості
у вересні в середньому буває 12 дощових
днів. Яка ймовірність, що з випадково
взятих у цьому місяці 8 днів 3 дні
виявляться дощовими?
Ймовірність
отримати вдалий результат при
виробництві складного хімічного
досліду дорівнює 2/3. Знайти найімовірніше
число вдалих випробувань, якщо загальна
їхня кількість дорівнює 7.
Ймовірність
влучення в ціль при кожнім пострілі
з гармати дорівнює 0,8. Скільки потрібно
зробити пострілів, щоб, найімовірніше
число влучень було рівним 20?
Ймовірність
народження хлопчика дорівнює 0,515,
дівчинки 0,485. У деякій родині шестеро
дітей. Знайти ймовірність того, що
серед них не більше двох дівчинок.
Прядильниця
обслуговує 1000 веретен. Ймовірність
обриву нитки на одному веретені
протягом однієї хвилини дорівнює
0,004. Знайти ймовірність того, що
протягом однієї хвилини обрив
відбудеться на п’ятьох веретенах.
Ймовірність
влучення в ціль при кожнім пострілі
дорівнює 0,001. Знайти ймовірність
влучення в ціль двох і більш пуль,
якщо число пострілів дорівнює 5000.
Ймовірність
того, що будь-який абонент зателефонує
на комутатор протягом години, дорівнює
0,01. Телефонна станція обслуговує 800
абонентів. Яка ймовірність, що протягом
години зателефонують 5 абонентів?
Виробництво
дає 1% браку. Яка ймовірність того, що
з узятих на дослідження 1100 виробів
бракованих буде не більше 17?
Ймовірність
появи успіху в кожнім з 625 незалежних
випробувань дорівнює 0,8. Знайти
ймовірність того, що частота появи
успіху відхилиться по абсолютній
величині від його ймовірності не
більше ніж на 0,04.
Чотири
покупці приїхали на оптову базу.
Ймовірність того, що кожному з цих
покупців потребується холодильник
марки «А», дорівнює 0,4. Знайти ймовірність
того, що холодильник буде потрібно:
а) не менш ніж двом покупцям; б) не
більш ніж трьом покупцям; в) усім
чотирьом покупцям.
Працюють
чотири магазина по продажу пральних
машин. Ймовірність відмовлення
покупцеві в магазинах дорівнює 0,1.
Вважаючи, що асортимент, товарову в
кожнім, магазині формується незалежно
від інших, визначити ймовірність
того, що покупець одержить відмовлення
в двох, у трьох і в чотирьох магазинах.
Завод
відправив у торгівельну мережу 500
виробів. Ймовірність пошкодження
виробу в дорозі дорівнює 0,002. Знайти
ймовірність того, що при транспортуванні
буде пошкоджено: а) рівно три вироби;
б) більше трьох виробів.
На
станціях відправлення потягів
знаходиться 1000 автоматів для продажу
квитків. Ймовірність виходу з ладу
автомата протягом години дорівнює
0,004. Яка ймовірність того, що протягом
години з ладу вийдуть два, три і п’ять
автоматів?
Схожість
насінь огірків дорівнює 0,8. Яка
ймовірність того, що з п’яти посіяних
насінь зійдуть не менше чотирьох?
Серед
10 лотерейних білетів є 4 білети з
виграшем. Навмання купують 2 білети.
Написати закон розподілу ймовірностей
числа виграшних білетів серед куплених.
У
партії з 25 шкіряних курток 5 мають
скриті дефекти. Купують 3 куртки.
Знайти закон розподілу дефектних
курток серед куплених. Побудувати
многокутник розподілу.
В
коробці 20 однакових котушок ниток,
з
них
– 4 котушки з білими нитками. Навмання
виймають 2 котушки. Знайти закон
розподілу числа котушок з білими
нитками серед вийнятих.
Є
три бази з незалежним постачанням.
Ймовірність відсутності на базі
потрібного товару дорівнює 0,1.
Підприємець вирішив закупити деякий
товар. Скласти закон розподілу числа
баз, на яких в даний момент цей товар
відсутній.
Ймовірність
того, що аудитор припустить помилки
при перевірці бухгалтерського балансу
дорівнює 0,05. Аудиторові на висновок
представлено 2 баланси. Скласти закон
розподілу числа правильних висновків
на баланси, що перевіряються.
Є
4 різних ключі, з яких тільки один
підходить до замка. Скласти закон
розподілу числа випробуваних ключів,
якщо випробуваний ключ надалі не
приймає участі в випробуваннях.
В
середньому п’ята частина автомобілів,
що поступають до продажу некомплектна.
Знайти ймовірність того, що серед
десяти автомобілів мають некомплектність:
а)три автомобілі; б) менше трьох.
Два
рівносильних супротивники грають у
шахи. Що більш ймовірніше: а) виграти
2 партії з 4 або 3
партії з 6?; б) не
менше 2
партії
із 6 або не менш 3 партії з 6? (Нічиї до
уваги не приймаються).
Будівельна
фірма, що займається установкою літніх
котеджей розкладає рекламні листки
по поштових скриньках. Попередній
досвід роботи компанії показує, що
приблизно в одному випадку з двох
тисяч випливає замовлення. Знайти
ймовірність того, що при розміщенні
100 тис. листків число замовлень буде:
а) дорівнювати 48; б) знаходитися в
границях від 45 до 55.
Підручник
видано тиражем 10000 екземплярів.
Ймовірність невірно зброшурованого
екземпляра підручника, дорівнює
0,0001. Знайти ймовірність того, що: а)
тираж містить 5 бракованих книг; б) по
крайній мірі 9998 книг зброшуровані
вірно.
Аудиторну
роботу по теорії ймовірностей з
першого разу успішно виконують 50 %
студентів. Знайти ймовірність того,
що з 400 студентів роботу успішно
виконають: а) 180 студентів, б) не менше
180 студентів.
Ймовірність
того,
що
пасажир спізниться до відправлення
потяга, дорівнює 0,01. Знайти найімовірніше
число спізнілих з 800 пасажирів і
ймовірність такого числа спізнілих.
Ймовірність
того, що лампочка, виготовлена даним
заводом, є бракованої, дорівнює 0,02.
Для контролю відібрано навмання 1000
лампочок. Знайти ймовірність того,
що частота бракованих лампочок у
вибірці відрізняється від ймовірності
0,02 менше, ніж на 0,01.
Два
шахісти умовилися зіграти 10
результативних партій. Ймовірність
виграшу кожної окремої партії першим
гравцем дорівнює 2/3, другим –1/3 (нічиї
не враховуються). Чому дорівнює
ймовірність виграшу всієї гри (виграти
більше п’яти партій) першим гравцем,
другим гравцем, загального нічийного
результату.
Ймовірність
того, що на сторінці книги можуть
виявитися помилки, дорівнює 0,002.
Перевіряється книга, що містить 500
сторінок. Знайти ймовірність того,
що з помилками виявляться: а) 5 сторінок;
б) від 3 до 5 сторінок.
4.30.
У селищі 2500 жителів. Кожний з них
приблизно шість разів на місяць їздить
у місто, вибираючи дні поїздки по
випадковим мотивам незалежно від
інших. Яку найменшу місткість повинен
мати потяг, щоб він переповнявся в
середньому не частіше одного разу в
100 днів (потяг ходить один раз на добу)?
|
-
сума значень ознаки на кожнім рівні,
-
сума квадратів значень ознаки на кожнім
рівні,
,
,
знаходять
(
k1=m-1;
k2=m(n-1))
-
розходження
групових середніх незначне, фактор не
впливає;
-
фактор впливає.
,
;
,
дисперсію
;
середнє квадратичне відхилення
;
;
.