- •Понятие функции. Графики функций.
- •Действительные числа. Метод математической индукции. Абсолютная величина.
- •Предел последовательности.
- •Вычисление предела последовательности.
- •Предел функции.
- •Решение: возьмем
- •Вычисление предела функции.
- •Непрерывность и точки разрыва функции.
- •Дифференциал и дифференцируемость функции.
- •Производные высших порядков, ряд Тейлора.
- •Правило Лопиталя и его применение к нахождению предела функции.
- •Неопределенность . По правилу Лопиталя данный предел равен
Вычисление предела последовательности.
Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы, вытекающие из определения предела:
1.
2.
3.
Пример 1. Найти предел:
Как показывает решение задачи, подстановка предельного значения приводит к неопределенности . Часто встречаются неопределенности вида . Нахождение предела последовательности в этих случаях называют раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразования данного выражения.
Решение примера 1: Поделим числитель и знаменатель на наивысшую степень n, в данном случае на n :
.
Т.к. (см. пр.3 Л.р.№3).
Пример 2. Найти предел:
Решение: Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела на выражение сопряженное ему:
.
Пример 3.Найти предел:
Решение: Воспользуемся 2-м замечательным пределом:
= .
Предел функции.
Опр.1.Число называется пределом функции при , если для любой окрестности числа существует такая проколотая окрестность числа a, что для всех ,
Это определение по Коши. Число может быть как конечным, так и бесконечным. В частности, если числа и а конечны, получаем следующее определение (на языке “ - ”).
Опр.2. Число называется пределом функции при , если для всякого существует такое число >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< < и входящих в область определения функции , справедливо неравенство:
(1)
и обозначается
Если а = + , то получаем следующее определение.
Опр.3.Число называется пределом функции при , если для всякого существует такое число >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству и входящих в область определения функции , справедливо (1) и обозначается:
(определение “ -C”).
Определение предела функции по Гейне: Число А называется пределом функции y=f(x) при (в точке a), если для любой сходящейся к числу а последовательности значений х, входящих в область определения функции и отличных от a, соответствующая последовательность этой функции сходится к числу А.
Пример 1. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что
.
Решение: Рассмотрим любую последовательность , удовлетворяющую двум условиям:
1)
2) .
Этой последовательности соответствует последовательность значений функции:
…
Тогда на основании свойств сходящихся последовательностей (каких?) будем иметь
Т.о. независимо от выбора последовательности , сходящейся к числу 2 , соответствующая последовательность значений функции А это на основании определения предела функции по Гейне значит, что
Замечание 1: Определением предела по Гейне удобно пользоваться тогда, когда доказывается, что функция f(x) не имеет предела. Для этого достаточно показать, что существует две последовательности но соответствующие последовательности имеют неравные пределы.
Пример 2: Доказать, что не существует.