1) Неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.

Неопределённый интеграл для функции  — это совокупность всех первообразных данной функции. Если функция определена и непрерывна на промежутке и  — её первообразная, то есть при , то , где С — произвольная постоянная.

2) Определенный интеграл. Формула Ньютона- Лейбница.

Определённый интеграл. Определённый И. функции f (x) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разность F(b) - F(a) значений первообразной F(x) в предельных точках. Определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И.

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство

3) Дифференциальное уравнение 1 порядка. Задача Коши. Общее решение.

Разрешив уравнение F(x, y, y’)=0 относительно y’ (если возможно), получим уравнение y’=f(x,y), которое называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0

Общее решение.Если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x₀)=y₀, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение.  Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка имеет следующую формулировку. Найти решение  (интеграл ) дифференциального уравнения (1) или (2), удовлетворяющее начальному условию  (

4) Простейшие диф. уравнения (неполные диф уравнения). Уравнения с разделяющ. переменными. Однородные диф уравнения 1 порядка

Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде y' = f₁(x)f₂(y). Тогда, в случае , общим решением уравнения является .

Однородные уравнения Дифференциальное уравнение называется однородным, если  — однородная функция нулевой степени. Функция называется однородной степени , если для любого выполняется равенство .

Замена приводит при однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными: Подставив в исходное уравнение, получаем:

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде. Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

5) Линейные диф. уравнения 1 порядка. Однородные и неоднородные. Общее решение.

Уравнение вида y' + P(x) y = Q(x), левая часть которого есть линейная функция относительно y и y' , а функции P(x) и Q(x) непрерывны в некоторой области, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнение вида y' + P(x) y = 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид       y = C .

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

1 Методом вариации произвольной постоянной 2 Методом Бернулли. - метод нахождения наибольшего по абсолютной величине действительного корня алгебраич. уравнения вида

6) Метод вариаций произвольной постоянной . Решение линейных неоднородных уравнений.

Рассматриваем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение y' + P(x) y = 0, его общее решение y = C . Ищем решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде y = C(x) , (5.4) где C(x) — искомая функция от x. Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y': y' = C'(x) + C(x) (– P(x)) и, подставив в данное уравнение, получим             C'(x) = Q(x) . Интегрированием находим C(x): C(x) = Q(x) + C. Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4) и получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

7) Метод подстановки. Решение линейных неоднородных уравнений.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где  — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

8) Обыкновенные диф уравнения высших порядков. Диф уравнения 2-го порядка Задача Коши. Общее решение диф уравнения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид F(x,y,y ^/ ,y ^// )=0 или . Задачей Коши для дифференциального уравнения второго порядка называется следующая задача: найти решение y = y(x) уравнения F(x, y, y', y'') = 0, такое, что y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y₁₀ , где x₀ , y₀ , y₁₀ - заданные числа. Условия y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y₁₀ называют начальными данными или данными Коши.

9) Простейшие случаи понижения порядка диф . уравнений

Уравнение вида y ⁽ⁿ⁾ = f (x). Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных.

Уравнение вида F (x, y, y ', …, y ⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащее явно неизвестную функцию y. Сделав замену y ' = z, где z = z(x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z = y ' и находим y.

Уравнение вида F (x, y ^(k), y ^{(k + 1)}, …, y ⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащее явно неизвестную функцию, а также несколько ее первых производных. Производим замену y ^(k) = z, где z = z(x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y ^(k) и интегрированием находим y.

11) Линейные однородные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если предположить, что решение уравнения y''+ay'+by=0 имеет вид y=ek x, то, подставив это соотношение в уравнение, получаем e kx(k2+ak+b)=0. Если мы хотим, чтобы y=e kx было решением, необходимо, чтобы параметр k был решением квадратного уравнения k2+ak+b=0, которое называется характеристическим, соответствующим данному дифференциальному уравнению. Характер решения характеристического уравнения зависит от дискриминанта D=a2-4b. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения положительный В этом случае корни характеристического уравнения действительные и различные k1≠k2. Тогда решением этого уравнения можно принять , . Эти решения являются линейно независимыми, так как их определитель Вронского для них не равен нулю

Используя теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения, получим в этом случае общее решение в виде . Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения отрицательный. В этом случае корни характеристического уравнения комплексные k = α ± ωi. Воспользовавшись формулой Эйлера eiω= cos ω +I sin ω. Где i² = - 1 — мнимая единица, получим комплексные решения рассматриваемого уравнения y1,2=eα x(cos ωx±I sin ωx). Теорема. Если уравнение линейного однородного дифференциального уравнения имеет комплексное решение у = u(x)+i·v(x), то действительная и мнимая части этого решение являются тоже решением. Доказательство. Пусть уравнение y''+ay'+by=0 имеет комплексное решение у=u(x)+iv(x). В этом случае выполняется тождественно (u+iv)''+a(u+iv)'+b(u+iv)≡0. Воспользовавшись правилами дифференцирования и выделяя действительную и мнимую части, получим (u''+au'+bu)+i(v''+av'+bv)≡0. Комплексное выражение равно нулю тогда, когда действительная и мнимая части этого выражения равны нулю u''+au'+bu≡0 и v''+av'+bv≡0.Что и требовалось доказать. Учитывая это можно считать, что y1=u=eα x cos ωx и y2=v=eα x sin ωx. Эти решения являются линейно независимыми, так как определитель Вронского для этой системы функций не равен нулю

Поэтому в силу теоремы о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения имеем y1,2=eα x (C1 cos ωx +iC2 sin ωx). Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения равен нулю. В данном случае корни характеристического уравнения k1 и k2 равные действительные числа. В этом случае Первое частное решение запишем в виде . Второе частное решение найдём из условия, которому удовлетворяет определитель Вронского для этого уравнения W=W₀e-ax. При этом будем предполагать, что W₀=1. Это уравнение в развёрнутой форме имеет вид y1·y2'-y1'y2=e-ax.

Разделив обе части на y12, получим

или

Интегрируя последнее соотношение с учётом , получим Так как эти функции линейно независимы, то общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид y=(C1+C2x)ekx.