1.

Первообразная функция.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (а;b), если для любого xє(а;b) выполняется равенство: F(x)’= f(x)

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (а;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x)+С, где С - постоянное число.

Неопределенные интегралы.

Множество всех первообразных функций F(x)+С для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом  f(x)dx.

Т.О., по определению  f(x)dx = F(x)+С ,где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx - подынт. выражение, х – переменная интегрирования,  - знак неопред. интеграла.

Свойства неопределенного интеграла.

1)Дифференциал от Н.И. равен подынт.выражению, а производная Н.И. равна подынт-ой функции.

2)Н.И. от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и постоянной:  dF(x) = F(x)+C

3)Пост.множитель можно выносить за знак интеграла:  af(x)dx=a f(x)dx, a≠0-постоянная.

4)Н.И. от алгеброич.суммы конечного числа непрерывных функций=алгеброической сумме интегралов слагаемых функций: (f(x)±g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx

5)Инвариантность формулы интегрирования: если f(x)dx = F(x)+C, то и f(u)du = F(u)+C,где u=φ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Интегралы :

 xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c

 dx/x = ln|x| + c

 a^x dx = a^x/ln a + c

 e^x dx = e^x + c

 sin x dx = - cos x + c

 cos x dx = sin x + c

 tg x dx = -ln|cos x| + c

 ctg x dx = ln|sin x| + c

 dx/(cos² x) = tg x + c

 dx/(sin² x) = -ctg x + c

 dx/(a²-x²) = arcsin ^x/_a +c

 dx/(x²+a²) = ln|x+x²+a²| +c

 dx/(a²+x²) = ¹/_a arcsin ^x/_a +c

 dx/(a²-x²) = ¹/_2a ln|^a+x/_a-x|+c

2)

Метод замены переменной заключается в сведении неопределенных интегралов к табличным.

Т.Пусть требуется вычислить интеграл f(x)dx. Сделаем подстановку x=φ(t), где φ(t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ’(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования Н.И. получаем:

Метод интегрирования по частям основывается на следующем утверждении.

Т. Пусть u(x) и v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=udv+vdu. Интегрируя это равенство, получим:

или

3) Интегрирование простейших рациональных функций

О.Многочленом степени n называется выражение вида

a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, где ai- действительные числа, a_n≠0, n≥0.

О.Рациональной дробью (рациональной функцией) называется отношение двух многочленов P(x)/Q(x).

 Если степень многочлена числителя больше или равна степени многочлена знаменателя, то такая дробь называется неправильной. Если меньше, то дробь правильная.

 Пусть R(x)/Q(x) - неправильная дробь, тогда, выполнив деление, получаем

R(x)/Q(x)=W(x)+ P(x)/Q(x), где W(x) - некоторый многочлен, а P(x)/Q(x) - правильная дробь.

Выделим из класса правильных дробей так называемые основные простые дроби. Это дроби следующих четырех типов:

1) 2) 3) 4)

,где a,p,q,A,M,N - вещественные числа,k>1 - целое число.

Рассмотрим интегралы от этих простых дробей.

Дроби типов 1 и 2 интегрируются с помощью подстановки t=x-a:

1) 2)

3) Выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат x²+2px+q=(x+p)²+a-p²

Далее следует подстановка t=x+p, x=t-p, dx=dt, Т.о., получаем:

4) Введем новую переменную t=(x+p)/a, где a=√q-p², откуда x=at-p, dx=adt.

В результате подстановки получаем. Далее разбиваем интеграл в правой части на два слагаемых

Первый интеграл:

4) Пусть под знаком Н.И. неправильная дробь, выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель.

Получаем: R(x)/Q(x)=W(x)+ P(x)/Q(x), где R(x)/Q(x)- неправильная р.д., W(x) - некоторый многочлен, P(x)/Q(x)-правильная р.д.

Т.к. P(x)/Q(x) - правильная рациональная дробь, у которой знаменатель представлен в виде многочлена, тогда эту дробь можно представить в виде суммы простых дробей:

,где А₁,А₂,…,А_r,M₁,N₁,…,M₅,N₅,… - некоторые вещественные числа.

Выражение называется разложением правильной дроби на простейшие рациональной дроби.

Далее умножаем обе части выражения на Q(x). С помощью метода неопределенных коэффициентов находим А₁,А₂,…,А_r,M₁,N₁,…,M₅,N₅,…(Так как равенство между многочленом P(x) в левой части и многочленом в правой части должно соблюдаться для всех x, то коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях должны быть равны между собой). Далее Интегрируем полученного равенства.

5) Интегрирование тригонометрических выражений.

Фунуцию с переменными sinx и cosx ,над которыми вып.рациональные действия (сложение,вычитание,умножение,деление) принято обозначать R(sinx;cosx), где R-знак рациональной функции.

Вычисление Н.И. типа ∫R(sinx;cosx)dx сводиться к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой tg^x/₂=t (универсальная тригонометрической подстановка)

На практике удобно использовать след.правила:

1)если функция R(sinx;cosx) нечетная относительно sinx ,т.е. R(-sinx;cosx)=-R(sinx;cosx) ,то подстановка cosx=t рационализирует интеграл.

2)если функция R(sinx;cosx) нечетная относительно cosx ,т.е. R(sinx;-cosx)=-R(sinx;cosx) ,то подстановка sinx=t рацианализирует интеграл.

3)если функция R(sinx;cosx) четная относительно sinx и cosx,т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx) ,то подстановка tgx=t рацианализирует интеграл.

Интегралы типа ∫sin^αx cos^βx dx:

1. Если α=2n+1 – нечетное число, то подстановка sin x=t

2. Если β =2n+1 – нечетное число, то подстановка cos x=t

3. Если α+β – четное отрицательное число, то подстановка tgx=t

4. Если α и β–целые не отриц. четные числа, то формулы понижения степени

, ,

Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

Функция типа R(x, ⁿ√(ax+b)/(cx+d)), где a,b,c,d - некоторые постоянные, n - любое целое положительное число называется дробно-линейной иррациональностью.

Интеграл от этой функции при ad-bc≠0 рационализируется подстановкой t=ⁿ√(ax+b)/(cx+d).

Интегралы типа ∫dx/√ax²+bx+c, ∫√ax²+bx+c dx, ∫(mx+n)/(√ax²+bx+c) dx называют Н.И. от квадратичных иррациональностей. Их можно найти след.образом: под радикалом выделить полный квадрат: ax²+bx+c=a((x+^b/_2a)²+(4ac-b²)/4a²) и сделать подстановку x+^b/_2a=t.

Тригонометрическая подстановка.

Интегралы типа ∫R(x; √a²-x²)dx (1), ∫R(x; √a²+x²)dx (2), ∫R(x; √x²-a²)dx (3)приводятся к интегралам от функций,рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: x=a sint (1), x=a tgt (2), x=a/sint (3)

6) Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a;b], a<b. Выполним след.действия:

1.Разобьём отрезок [a;b] точками a=x₀,x₁,…,x_n=b на n частичных отрезков [x₀;x₁],..[x_n-1;x_n].

2.В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i],i=1,2,..,n выберем произвольную точку c_i є[x_i-1;x_i] и вычислим значение функции в ней, т.е. величину f(c_i).

3.умножим найденное значение f(ci) на длину ∆x_i=x_i-x_i-1 соответствующего частичного отрезка:f(ci)∙∆xi.

4.Составим сумму S_n всех таких произведений: S_n= f(c₁)∙∆x₁ +…+ f(c_n)∙∆x_n= –интегральная сумма функции y=f(x) на [a;b]. Обозначим через λ длину макс.частичного отрезка: λ=max∆xi.

5.Найдем предел интегральной суммы, когда n→∞, так что λ→0.

Если при этом инт.сумма Sn имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки, ни от выбора точек, то число I называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [a;b] и обозначается . Т.О. .

Т. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] ,то определенный интеграл _a∫^b f(x)dx существует.

Геометрический смысл О.И.: О.И. от неотриц.функции численно равен площади криволинейной трапеции (Фигура ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу осью Ox,сбоку – прямыми x=a и x=b)

Задачи приводящие к определению О.И.:

- Работа переменной силы F,величина которой есть непрерывная функция F=F(x),действующей на отрезке [a;b],равна О.И. от величины F(x) силы, взятому по отрезку [a;b]:

- Путь S,пройденный точкой за промежуток времени от t=a до t=b,равен О.И. от скорости v(t):