§14 Общее ур-е пл-ти и его исследование
Очевидно всякую пл-ть можно задать точкой на ней и нормальным вектором. Поэтому ур-е любой пл-ти можно задать в виде: (1) A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Y=kx+b
вертик
(0,b)
прям исключить
В уравнении (1) шесть (6) параметров
Число парам обознач D=-Ax0-By0-Cz0
(2) Ax+By+Cz+D=0 (A,B,C)=n
Вектор сост из коорд при неизв норм вект
A2+B2+C2¹0
Если только хотя бы один коэф¹0 опред пл-ть а не что-либо другое
Док-во: Пусть дано ур(2) где A,B,C,D – произв числа но хотя бы одно из чисел A,B,C¹0
Подберём числа x0,y0,z0 из условия чтобы
Ax0+By0+Cz0+D=0
Это всегда можно сделать если:
c¹0, x0=0, y0=0, z0=-(D/C)
b¹0, ………………………
Ax+By+Cz+D-(Ax0+By0+Cz0+D)=0
(3) A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0
но мы уже знаем что за этим ур-ем стоит пл-ть а именно пл-ть проход через точку (x0,y0,z0) ^ вектору = (A,B,C)
Мы показали что всякую пл-ть можно задать ур-ем вида (2) и ур-е вида (2) при любом наборе коэф за исключ A2+B2+C2=0 опр-т плоскость. В силу этого ур-е (2) наз общим ур-ем плоскости
Если A=B=C=0 то ур-е определ при
D¹0 ® 0 если A=B=C=D=0 то ® всё пространство
§15 Уравнение пл-ти в отрезках.
Пусть дана пл-ть кот пересек все три коорд оси но не проходит через начало коорд.
Обозначим P,Q,R:
z
R(0,0,c)
a y
Q(0,b,0)
P(a,0,0)
x
a,b,c – отрезки отсекаемые на осях
Ax+By+Cz+D=0 (1)
PÎaÞ A*a+D=0Þ A=-(D/a)
QÎaÞ B=-(D/b)
RÎaÞ C=-(D/c)
Подставим в (1)
:(-D)
т.к. D¹0
§16 Уравнение пл-ти проходящей через
три данные точки.
z
M
1(x1,y1,z1)Îa
a
M(x,y,z)
M
2(x2,y2,z2)Îa
M
3(x3,y3,z3)Îa
M1
M3(x3,y3,z3)
(
M1,M2,M3)
- ? M2
y
x
M1M=(x-x1;y-y1;z-z1)
M1M2=(x2-x1;y2-y1;z2-z1)
M1M3=(x3-x1;y3-y1;z3-z1)
Характеристическим св-вом пл-ти a явл. то что векторы M1M , M1M2 , M1M3 – компланарны. Но мы знаем усл. компланарности:
§17 Угол между двумя плоскостями.
Усл перпенд и парал пл-тей.
j
Получается два
na
na’
двугранных угла
котор
дополн друг
a
друга до 1800
a’ Один из этих углов
явл углом между
норм векторами
плоскостей.
a^a’ Û na^na’ Û AA’+BB’+CC’=0
a||a’
Û
n||n’ Û
a=a’
Û
Ax+By+Cz+D=0
Þ
lAx+lBy+lCz+lD=0
Þ
A’x+B’y+C’z+D’=0