Вопрос 32. (33) Приращение функции f(X) в точке X — функция обычно обозначаемая Δxf от новой переменной Δx определяемая как
Δxf(Δx) = f(x + Δx) − f(x).
Линейную
функцию 
называют дифференциалом
функции f в
точке 
и
обозначают df.
Для функции x производная
в каждой точке
равна 1,
то есть 
Поэтому
пишут:
|
Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:
|
Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.
Либо другой вариант Понятие дифференциала
Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следовательно, в точке xсуществует конечная производная
Тогда по определению предела функции разность
(1)
является
бесконечно малой величиной при 
.
Выразив из равенства (1) приращение
функции, получим
(2)
(величина 
не
зависит от 
,
т. е. остаётся постоянной при
).
Если 
,
то в правой части равенства (2) первое
слагаемое 
линейно
относительно
.
Поэтому при
оно
является бесконечно малой того же
порядка малости, что и
.
Второе слагаемое 
-
бесконечно малая более высокого порядка
малости, чем первое, так как их
отношение 
стремится
к нулю при
Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.
(3)
Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают
или
Следовательно,
(4)
или
(5)
Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.
Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,
- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.
Дифференциал функции можно записать в другой форме:
(6)
или
Смысл дифференцирования - это вычисления производной (?????????????????????!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!??????????????????????????)
Геометрический
смысл дифференциала. Дифференциал функции y
= f(x)
равен приращению ординаты касательной,
проведённой к графику этой функции в
точке (x; y),
при изменении xна
величину 
.
Вопрос 33 (34). Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откуда
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
|
Примеры.
y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.
Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.
f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.
Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.
Вычислить
приближенно значение функции 
в
точке x =
17.
Пусть x0=
16. Тогда Δx = x – x0=
17 – 16 = 1, 
,
.
Таким
образом, 
.
Вычислить ln 0,99.
Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.
Положим x0 = 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x0)=0.
, f '(1)=1.Поэтому f(0,99)
≈ 0 – 0,01 = – 0,01.
Либо это http://www.sernam.ru/lect_math2.php?id=95