Розділ 7. Лінійні системи загального вигляду.

§1. Ранг матриці.

1. Базисний мінор. Мінор порядку матриці називається базисним, якщо , а всі її мінори порядку дорівнюють нулеві.

Зрозуміло, що матриця може мати декілька базисних мінорів, але всі вони мають один і той самий порядок. Далі, всі мінори, порядок яких перевищує , також дорівнюють нулеві. Доведемо це твердження методом математичної індукції. Припустимо, що всі мінори порядку , , дорівнюють нулеві. Будь-який мінор порядку можна розкласти за елементами якого-небудь рядка. Алгебраїчні доповнення до елементів цього рядка з точністю до знака збігаються з мінорами порядку , які, за припущенням індукції, дорівнюють нулеві, отже, дорівнює нулеві і мінор – го порядку.

2. Теорема про базисний мінор. Будь-який стовпчик –матриці будемо розглядати як вектор –вимірного арифметичного простору, а будь-який її рядок – як вектор –вимірного арифметичного простору.

Теорема. Будь-який стовпчик матриці є лінійною комбінацією стовпчиків, які ввійшли в базисний мінор.

Доведення. Позначимо стовпчики –матриці через , тобто . Нехай базисний мінор матриці має порядок , , і нехай в базисний мінор увійшли стовпчики та рядки з номерами . Треба показати, що будь-який стовпчик , , можна подати як лінійну комбінацію стовпчиків , тобто , або, в координатній формі,

.

Запишемо цю систему рівностей більш компактно:

. (1)

Складемо матрицю

і покажемо, що при всіх , , . Справді, якщо дорівнює одному зі значень , то як такий, що має два однакових рядки. Нехай тепер не дорівнює жодному зі значень . Тоді з точністю до порядку запису рядків та стовпчиків збігається з одним з мінорів порядку матриці . Переставивши місцями, якщо це потрібно, рядки та стовпчики визначника , дістанемо мінор матриці порядку , який дорівнює нулеві за умовою. може відрізнятися від цього мінору хіба що знаком, а тому також дорівнює нулеві. Отже, при всіх , , .

Розкладемо за елементами останнього рядка:

Оскільки , то звідси

.

Отримані рівності збігаються з шуканим розкладом (1) при . Теорему доведено.

Наслідок. Кожен рядок матриці є лінійною комбінацією рядків, які ввійшли в базисний мінор.

Для доведення цього наслідку досить застосувати теорему про базисний мінор до транспонованої матриці.

3. Теорема (обернена до властивості 8º визначників). Якщо для квадратної матриці , то принаймні один рядок цієї матриці є лінійною комбінацією решти її рядків.

Доведення. Якщо для квадратної матриці –го порядку , то порядок базисного мінору цієї матриці не перевищує . Звідси, принаймні один рядок матриці не перетинає базисного мінору. За теоремою про базисний мінор цей рядок є лінійною комбінацією рядків, які ввійшли в базисний мінор, отже, є лінійною комбінацією всіх решти її рядків. Теорему доведено.

4. Ранг матриці. Порядок базисного мінору матриці називається рангом цієї матриці і позначається .

Теорема про ранг матриці. Ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стовпчиків цієї матриці.

Доведення. Нехай і – її базисний мінор. Покажемо спочатку, що матриця має не менше, ніж лінійно незалежних стовпчиків. Позначимо через матрицю детермінант якої збігається з базисним мінором матриці , , так що кожний стовпчик матриці є підмножиною елементів відповідного стовпчика матриці . Якби стовпчики матриці , які ввійшли в базисний мінор, були лінійно залежними, то лінійно залежними були б і стовпчики матриці , а тому, за властивістю 8º визначників, . За умовою , тому матриця має не менше, ніж лінійно незалежних стовпчиків.

Покажемо тепер, що матриця має не більше, ніж лінійно незалежних стовпчиків, тобто покажемо, що будь-які стовпчиків, , лінійно залежні. Для цього складемо матрицю з цих стовпчиків. Кожен мінор матриці є одночасно мінором матриці , тому , тобто . Це означає, що принаймні один стовпчик матриці не входить в базисний мінор цієї матриці, а тому , за теоремою про базисний мінор, цей стовпчик є лінійною комбінацією решти її стовпчиків, тобто стовпчики матриці лінійно залежні. Ці міркування справджуються для всіх , зокрема і при . Звідси, в матрицю входить не більше, як лінійно незалежних стовпчиків. Теорему доведено.

5. Теорема про ранг добутку матриць. Ранг добутку двох матриць не перевищує рангу жодного зі співмножників.

Доведення. Для –матриці та –матриці позначимо і покажемо, що . За означенням добутку двох матриць

.

Розгорнемо цей запис для –го стовпчика матриці , :

і перепишемо отриману систему рівностей у матричній формі так:

.

Звідси, кожний стовпчик матриці є лінійною комбінацією стовпчиків матриці . За лемою про лінійні комбінації серед векторів-стовпчиків матриці не може бути більше лінійно незалежних, ніж таких є серед векторів-стовпчиків матриці , тому, за теоремою про ранг матриці, . Повторивши наведені міркування з рядками матриці , отримаємо, що (виконати як вправу). Теорему доведено.

Наслідок. Ранг добутку будь-якої прямокутної матриці зліва чи справа на невироджену квадратну матрицю відповідного порядку дорівнює рангу матриці .

Справді, нехай . Звідси, , а з рівності отримуємо . Таким чином, .

6. Обчислення рангу матриці. Такі перетворення матриці називаються елементарними:

- множення рядка чи стовпчика на ненульове число;

- додавання до рядка (стовпчика) іншого рядка (стовпчика);

- зміна місцями двох рядків (стовпчиків).

Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці. Справді, з властивостей визначників випливає, що кожний мінор матриці після виконання одного з елементарних перетворень або не змінює свого значення (при виконанні другого елементарного перетворення), або змінює знак на супротивний (при виконанні третього елементарного перетворення), або збільшує своє значення в разів (при множенні рядка чи стовпчика на число , ). Звідси, після виконання якого-небудь елементарного перетворення жоден ненульовий мінор не може перетворитися в нуль, а жоден нульовий мінор не може змінити свого значення, так що базисний мінор матриці залишається базисним і після виконання елементарного перетворення, а це означає, що ранг матриці не змінився.

Зазначимо, що за допомогою елементарних перетворень отримується найпростіший спосіб обчислення рангу матриці.

Приклад. Обчислити ранг матриці

.

Для знаходження рангу застосуємо елементарні перетворення до матриці . Помножимо другий стовпчик на 2 і результат додамо до першого стовпчика:

.

Помножимо тепер перший рядок на -2 і результат додамо до другого рядка, а потім – на -1 і додамо до третього рядка:

.

Помножимо другий рядок на -2 і додамо до третього:

.

В отриманій матриці всі мінори третього порядку дорівнюють нулеві, але є ненульовий мінор другого порядку

,

тому .

7. Максимальні лінійно незалежні підсистеми векторів. Нехай задано систему векторів , , , –вимірного лінійного простору. Складемо матрицю з координат цих векторів:

і знайдемо базисний мінор матриці . За теоремою про ранг матриці всі вектори, які ввійшли в базисний мінор матриці , лінійно незалежні. Якщо , то вектори лінійно незалежні. Якщо ж , то система векторів лінійно залежна, а максимальну лінійно незалежну підсистему утворюють вектори, які ввійшли в базисний мінор.

Приклад. Знайти максимальну лінійно незалежну підсистему системи векторів , , .

Матриця, складена з координат цих векторів, збігається з матрицею прикладу попереднього пункту. Оскільки , то вектори лінійно залежні. Максимальну лінійно незалежну підсистему складають вектори , які ввійшли в базисний мінор.