- •Спектральная плотность стационарных процессов
- •5. Типовые статич-е нелин-сти и их х-ки.
- •7. Критерий уст-сти непрер-х лин-х систем.
- •8. Критерий уст-сти нелинейных систем.
- •9. Критерий уст-сти нелин-х систем.
- •10. Постр-е пп-сов для лин-х дискрет-х систем.
- •3) Операторный способ
- •12. Критерии кач-ва рег-ния.
- •13. Синтез системы рег-ния м-дом расчета пар-в рег-ра на желаемую степень затух-я пп.
- •14. Синтез системы рег-ния м-дом расчета пар-в рег-ра на желаемый показ-ль колебат-сти.
- •15. Синтез системы упр-я с исп-м упредителей типа Смита.
- •16. Синтез инвариантных системм упр-ния.
- •17. Многосвязные лин-е системы и их анализ.
- •18. Синтез многосв-х лин-х систем с исп-м модального упр-я и компенсаторов.
- •21. Синтез дискрет-х компенс-х рег-ров из усл-я обеспеч-я желаемого времени рег-ния.
- •22. Синтез дисктр-х компенсац-х рег-ров из усл-я, обеспеч-щих желаемое располож-е полюсов хау.
- •23. Синтез дискр-х компенс-х рег-ров из усл-я, обеспечив-щах минимизацию дисперсии вых-го сигнала лин-й системы.
- •Вариационное исчисление в оптимальном управлении
- •25. Вывод основ-х соотн-й пр-па максимума. Проблемы его исп-ния.
- •27. Акр для лин-х непрер-х систем.
- •28. Акр для лин-х дискр-х систем.
- •29. Синтез наблюдателей перм-х состояний.
- •30. Адаптив-е системы упр-я. Классифик-я. Синтез адапт-й системы с эталонной моделью на основе подстройки коэф-в ур-ния переем-х состояний.
- •Системы с адаптивной оценкой параметров
- •Адаптивное упр-ние с эталонной моделью в перем-х сост-я
- •Адаптив-ый р-тор, обеспечив-й настройку коэф-тов уравнения состояния
1. МАТ-Е ОПИСАНИЕ СИГНАЛОВ В НЕПРЕР-Х ЛИН-Х ДЕТЕРМИНИР-Х СИСТЕМАХ.
Сигнал – носитель инф-и на матер-й основе. Быв-т детермин-е и случ-е. Детерм-е: для каждого м-нта вр м предсказать знач-е. Непрер-е: аргумент сигнала чаще всего тек-е время, м зафиксир-ть бесконеч-е мн-во точек.
При анализе прохожд-я слож-го сигнала U(t) ч/з такие системы его предст-т в виде взвеш-й суммы базисных ф-ций φk(t) (или соотв-щего интеграла)
, tt, t, где Сk – коэф-ты; t, t – инт-л сущ-ния сигн-а. На инт-ле t, t выр-е справ-во как для сиг-в, неогр-х во вр, так и для сигн-в конечной длит-сти.
Вычисл-е составл-щих сигнала сущ-но облегчается при выборе в кач-ве базиса системы ф-ций 0(t), 1(t),…, k(t),…, j(t),…, n, кот-ю наз-т ортогон-й на отрезке t, t для всех , если удовлетворяются условия
при k j, (1.2) и ортонормир-й, если
при k = j. (3)
Распр-ной вр-ной формой предст-ния сигнала явл-ся такое разлож-е сигнала U(t), при кот в кач-ве базисной ф-ции исп-тся единичные импул-е функции – дельта-ф-ции.
Мат/описание такой ф-ции зад-ся соотношениями, когда дельта-функция отличается от нуля в момент времени t = , имеем:
(4) Для более общего случая, когда дельта-f-я отлич-ся от 0 в м-нт вр кси:
(5)
Такая М/М соотв-т импульсу беск-но малой длит-сти и безгр-й в-ны. С пом-ю -ф-ции можно выразить значение реального сигнала U(t) в конкретный момент времени :
. (6) Это рав-во справ-во для любого тек-го м-нта вр t. Заменив на t и приняв в кач-ве перем-й интегр-я
. (7) Ф-ция U(t) выражена в виде сов-сти примык-щих друг к дургу импульсов беск-но малой длит-сти. Т.к. они не перекрыв-ся во времени, то – ортогон-сть сов-сти этих импульсов. Ф-ла справ-ва и для бо-лее узкого диап-на пределов интегр-я. Так, для любого > 0
. (8)
На практике еще исп-т производные импульсной -функции. При условии, что U(t) имеет непрерывные производные до n-го порядка, с учетом производных -функции имеем
(9) и аналогично
(10)
при k = 1, 2,…, n.
Единич-ю импул-ю -ф-цию м предс-ть прямоуг-м импульсом конеч-й длит-сти Δ, им-щим един-ю площадь.
(11) Предст-м единич-й прямоуг-й импульс интегралом Фурье.
(12). Подст-я в (12) выр-е (11) прямоу-го импульса:
(13)
Выполнив обратное преобразование Фурье для (13), получим
. (14)
Переходя к пределу при Δ→0 и принимая во внимание, что при этом , получим . (15)
Эта формула дает разложение мгновенного единичного импульса на гармонические колебания всех возможных частот.
Исп-е экспоненц-х базисных ф-ций в преобр-и Фурье комплек-сно-сопряж-ми парами (с положит-м и отриц-м пар-м ) позв-т в соотв-и с формулой Эйлера (16)
представить сложный детерминир-й сигнал в виде суммы гарм-х составляющих. Поскольку параметр в этом случае имеет смысл круговой частоты, результат такого преобразования называют частотной формой представления сигнала.
2. МАТ-Е ОПИСАНИЕ СИГНАЛОВ В НЕПРЕР-Х ЛИН-Х СТОХАСТИЧ-Х СИСТЕМАХ.
Сигнал – носитель инф-и на матер-й основе. Быв-т детермин-е и случ-е. Случ-е: врем-е сигналы м охаракт-ть вероят-ми оценками. Если м извлечь полезную инф-ю – случ-й, иначе – помеха. Непрер-е: аргумент сигнала чаще всего тек-е время, м зафиксир-ть бесконеч-е мн-во точек.
Под случ-м (стохаст-м) проц-м подраз-т такую ф-цию времени U(t), знач-я кот-й в каждый м-нт времени случайны. М.б. опр-ны лишь статистич-е данные, хар-щие все мн-во возм-х реализаций.
Для этого надо превратить СП в набор случ-х чисел с опр-м шагом. СП U(t) м.б. описан сист-й N обычно зав-х случ-х в-н U1=U(t1),…, Ui=U(ti),…, UN=U(tN), взятых в разл-е м-ты времени.
Для оценки степени статистич-й зав-сти мгнов-х знач-й проц U(t) в произв-е м-нты времени t1 и t2 исп-ся неслуч-я ф-ция аргум-в RU(t1, t2), кот-я наз-ся кор-ной ф-цией. При конкр-х аргум-х t1 и t2 она = кор-му м-нту знач-й процесса U(t1) и U(t2):
. (17). Ч/з двумерную плотность вер-сти выр-е (17) представляется в виде:
(18), где ро – плот-сть вер-сти случ-х в-н. Как вероятностные х-ки, так и кор-е знач-я для опр-х м-нтов вр м.б. однор-ми набол-м инт-ле набл-й СП (стац) и неоднор-ми (СП, у кот-х изм-ся х-ки – нестац-е).
В силу сим-сти этой ф-лы относ-но аргументов справ-во рав-во
. (19)
Для стацх эргодических процессов справедливы соотношения:
для мат-го ожидания сигнала U(t): ; (20)
для дисперсии сигнала ; (21)
для корреляционной функции сигнала:
. (22), где тау – времен-й инт-л, кот опр-т сдвиг по вр 2х случ-х в-н, целое число.
Дисперсия сигнала U(t) = кор-ной функции при = 0: .
Спектральная плотность стационарных процессов
. (30)
Выр-е (30) – ф-ла Релея, кот-я соотв-т энерг-й форме интеграла Фурье. Для нахожд-я энергии рассм-го процесса вместо бескон-го интервала набл-я с равным основ-м можно интегр-ть квадрат ф-ции времени по всему интервалу [∞, ∞] или инт-ть квадрат модуля изобр-я Фурье по всем частотам [∞, ∞]. Для бол-ва проц-в энергия за беск-й инт-л стремится к беск-сти, что неудобно в тех-х прилож-х. Поэтому удобнее вместо энергии исп-ть ср-ю мощность процесса, кот-я будет получена, если энергию поделить на инт-л наблюд-я, тогда на осн-и формулы (30):
. (31)
Введем обозначение , (32)
которое получило название спектральной плотности.
С учетом (32) перепишем выражение (31)
, (33)
где ū2 – средний квадрат рассматриваемой величины u(t).
Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по частотам [∞, ∞] дает средний квадрат исходной функции времени u(t). По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от ω до ω + dω.
Спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье:
; (34)
. (35)
3. МАТ-Е ОПИСАНИЕ СИГН-В В ЛИН-Х ДИСКР-Х СИСТ.
Дискр (на инт-ле набл-й конечное кол-во точек отсчета аргум-та, то м/д сосед-ми точками отсчета – разрыв аргум-нта, т.е. такие же разрывы будут и для знач-й сигнала).
Из анализа спектров сигн-в м заключить, что наим-шая частота квант-я для возм-сти восст-я сигнала равна , где – наивысшая частота, содерж-ся в спектре (импул-я теорема). Теорема утв-т, что если сигнал не сод-т частот выше, чем ра-диан в секунду, он полностью опис-ся своими знач-ми, измер-ми в дискр-е моменты времени с интервалом секунд.
В соотв-и с импульсной теоремой непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле
Преобразование Фурье:
По усл-ю теоремы ф-ция F = нулю вне интервала . Если , то
.
Значение непрерывной функции на основе равно
Меняя порядок интегрирования и суммирования, получаем
На выбор частоты квант-я влияют треб-я уст-сти замкнутых систем и др-е практ-е сообр-я, кот-е могут сделать необх-м квант-е сигнала с частотой более высокой, чем теор-й минимум. Более того, сигналы с огранич-м спектром физически не сущ-т в системах связи или упр-я. Все физ-е сигналы, сущ-щие в реальном мире, содержат гармоники, покрывающие широкий диапазон частот. Но вследствие того, что амплитуды высокочастот-х сост-щих значит-но ослаблены, предпол-ся, что сигнал имеет огранич-й спектр. Поэтому на практике эти факторы в сочетании с нереализ-ю ид-го низкочаст-го фильтра делают невозм-м точное воспроизвед-е непрер-го сигнала по его дискретным выборкам, даже если выполняются условия импульсной теоремы.
Также сигнал м.б. полностью опр-н при квант-и его со скор-ю меньшей, чем радиан в секунду, если в м-нты выборки известна инф-я, как об амплитуде сигнала, так и о его производных. Если сигнал не содержит частот больших, чем радиан в секунду, он полностью определяется значениями и , измер-ми в дискр-е м-нты времени с инт-лом секунд, где
(53)
Это означает, что если кроме значений в м-нты известны знач-я первой производной , то макс-но доп-й период квантования . Это вдвое больше периода, необх-го при измерении только . Добавление каждой последующей производной позволяет ув-ть интервал между выборками до величины , где n – порядок высшей производной, при условии, что для каждой выборки все производные низших порядков известны.