- •§10. План исследования функции и построение графика
- •§ 11. Вектор-функция скалярного аргумента. Основные понятия
- •§ 12. Понятие кривой, касательная к кривой, длина кривой
- •§13. Кривизна и кручение кривой
- •Глава 7. Неопределённый интеграл
- •§ 1. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица интегралов
- •§ 2. Основные методы интегрирования
Глава 7. Неопределённый интеграл
§ 1. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица интегралов
В главе 5 мы для заданной функции находили её производную . Операцию нахождения производной называли дифференцированием. Не менее важна обратная операция – по заданной производной найти (восстановить) функцию . Например, согласно второму закону Ньютона , где – время, – сила, действующая на точку. Эта сила обычно известна, а нужно найти закон движения точки под действием этой силы. То есть по известной производной найти функцию .
Операция, обратная дифференцированию, называется интегрирова-нием.
Определение 1. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке . Функция , определённая и дифференцируемая на этом же промежутке , называется первообразной функции , если .
Например, . Очевидно, – первообразная этой функции, поскольку
.
Замечание 1. Часто вводят понятие нестрогой первообразной функции . В этом случае не требуют дифференцируемости, но требуют непрерывности функции и равенства во всех точках , исключая, быть может, счётное множество точек. Очевидно, всякая первообразная является нестрогой первообразной, но не наоборот.
Если – первообразная функции , то и , где , – также первообразная, так как . С другой стороны, если и – первообразные функции , то , или (смотри теорему 1 §3 глава 5). То есть произвольную первообразную можно записать в виде , где – некоторая конкретная первообразная. Другими словами, – множество всех первообразных функций на некотором промежутке .
Определение 2. Множество всех первообразных функции , определённых на некотором промежутке , называют неопределённым интегралом функции . Обозначают
. (1)
Выражение называют подынтегральным, а – подынтегральной функцией.
Равенство (1) означает, что или , то есть подынтегральное выражение – это дифференциал произвольной первообразной.
Возникает вопрос – каждая ли функция имеет первообразную? Ответ – нет. Например, функция не может иметь первообразную на интервале, содержащем точку , так как производная функция не может иметь точек разрыва 1-го рода (см. следствие теоремы 2 §3 гл. 6).
Позже докажем, что любая непрерывная на промежутке функция имеет на нём первообразную. А поскольку всякая элементарная функция непрерывна в области определения, то любая элементарная функция на любом промежутке непрерывности имеет первообразную.
Заметим, что непрерывность – достаточное условие существования первообразной, но не является необходимым условием. Например, функция разрывна в точке , но является первообразной этой функции на любом интервале числовой оси (убедиться в этом самостоятельно).
Замечание 2. Функция является нестрогой первообразной функции на любом интервале числовой оси, так как .
Операции дифференцирования и интегрирования – взаимно- обратные, то есть если , то . Поскольку , где – тождественный оператор, то имеем следующие свойства:
. (2)
Оператор интегрирования обладает свойством линейности, то есть
, (3)
если функции и имеют первообразные на одном и том же промежутке . Чтобы доказать (3), достаточно убедиться в том, что дифференциал правой части (3) равен подынтегральному выражению левой части этого равенства.
Действительно, . Что и требовалось доказать.
Замечание 3. В равенстве (1) предполагалось, что – независимая переменная функций и . Однако равенство (1) справедливо и в случае, когда – дифференцируемая функция переменной .То есть из (1) следует, что
. (4)
Действительно, используя инвариантность формы первого дифференциала, имеем . Что и требовалось доказать.
Таблицу неопределённых интегралов от основных элементарных функций получим из таблицы производных (дифференциалов).
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9.
.
10. .
11. .
12. (проверить дифференцированием).
Согласно замечанию 3 все табличные интегралы справедливы и в том случае, если – дифференцируемая функция аргумента . В частности, используя 8-й табличный интеграл, получим
.
Аналогично из 9-го интеграла таблицы получим
.
Замечание 4. Первый интеграл таблицы справедлив и для отрицательных при некоторых значениях . Например, при имеем . Здесь – первообразная функции на любом интервале числовой оси. При имеем , не является первообразной функции на интервале, содержащем точку , так как не является на нём дифференцируемой функций. В то же время является нестрогой первообразной. При имеем . Функция не является даже нестрогой первообразной для функции на интервале, содержащем точку , так как не является на нём непрерывной. На любом интервале, не содержащем точку , она является первообразной.
Аналогичное замечание можно сделать и для второго интеграла таблицы и для некоторых других.
Замечание 5. Определения 1 и 2 справедливы и для векторной функции действительного аргумента . Например, для функции первообразной будет . В частности, для комплексной функции скалярного аргумента первообразной будет .