- •31. Круглый волновод
- •10.2.2. Токи на стенках круглого волновода
- •10.2.3. Передача энергии по круглому волноводу
- •32. Общие свойства объемных резонаторов
- •11.1.2. Свободные гармонические колебания в объемных резонаторах
- •11.1.3. Резонансные частоты свободных колебаний
- •11.1.4. Добротность объемных резонаторов
- •11.1.5. Собственная добротность закрытых резонаторов
- •11.1.6. Связь между добротностью объемного резонатора и длительностью процесса свободных колебаний в нем
- •11.2.5. Цилиндрический резонатор
31. Круглый волновод
Вывод формул для поля
При анализе волн в круглом волноводе (рис. 10.13) будем считать, что заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ, а оболочка обладает бесконечной проводимостью. В таком волноводе возможно раздельное существование Е- и /-/-волн и невозможно существование ТЕМ-волн (см. 9.4). При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат, совместив ось Z с продольной
а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу.
Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс т в формулах (10.32а) и (10.326) имеет разный смысл. В (10.32а) он означает, что записана комплексная амплитуда рассматриваемой функции, а в (10.326) т- определяет порядок функции Бесселя.
Входящая в (10.326) постоянная ф0 влияет только на начало отсчета угла φ, ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Z. В рамках используемой физико-математической модели постоянные EOz и φ0 определить нельзя. Для их нахождения требуются дополнительные данные об источнике, создающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ориентации вектора γ┴ и т.д.). Аналогичный вопрос обсуждался ранее при анализе формул (10.16) и (10.17).
Чтобы найти неизвестную постоянную ух, используем граничное условие (1.104). В рассматриваемом случае из него следует равенство
где а - радиус волновода (см. рис. 10.13). Подставляя выражение для Еz°( r, φ,) из (10.326) в (10.33), получаем
Jm (γ┴ a) =0 (10.34)
Имеется бесконечное множество значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называют корнями функции Бесселя. Обозначая n-й корень функции Бесселя m-го порядка через vmnE (см. рис.10.14), из (10.34) находим
Параметр β вычисляется по формуле (9.14).
Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры. Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней уравнения {10.34). Например, корню соответствует волна Е01 корню v12Е -волна Е12, корню vmnЕ - волна Етп.
Зависимость структуры поля волны от угла φ определяется индексом т. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на т секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе: поле волны периодично по углу φ с периодом 2π/m. Индекс т, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла φ).
На распределение составляющих векторов поля вдоль радиуса в интервале [0, а] влияют оба индекса т и п. При этом т определяет порядок функции Бесселя, а п-число вариаций составляющих векторов поля при изменении г от 0 до а: при /7=1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при л = 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д.
Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной ух соотношением (10.33). В рассматриваемом случае
Несколько первых корней функций Бесселя vmnE в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн, рассчитанные по формуле (10.36), приведены в табл. 10.1. Низшим типом среди волн Е в круглом волноводе является волна Е01-
Фазовая скорость, скорость распространения энергии, длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление рассчитываются по формулам (9.18), (9.43), (9.17) и (9.21) соответственно. На рис. 10.15 показана структура поля волны Е01.
Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-волн различной структуры, которые принято обозначать Нтп. Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Етп. Индекс т совпадает с порядком функции Бесселя, а n-с номером нуля первой производной функции Бесселя т-го порядка. Так же как и в случае E-волн, структура поля волны Нтп периодична по углу ср с периодом 2π/m, т.е. индекс т равен числу периодов структуры поля волны Нтп, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что поле волны не зависит от угла φ. Индекс л равен числу вариаций составляющих векторов поля вдоль радиуса волновода.
Несколько первых корней vmnH в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн, рассчитанные по формуле
приведены в табл. 10.2. Низшим типом среди не только волн Н, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из табл. 10.1 и 10.2, является волна Нц. Интересно отметить, что структура поля этой волны (рис. 10.16) близка к структуре поля волны Н10 в прямоугольном волноводе (см. рис. 10.3), также имеющей наибольшую критическую длину волны. На рис. 10.17 показана структура поля волны Н01.
Параметры H-волн β, vф, vЭ и Λ вычисляются по формулам (9.14), (9.18), (9.43) и (9.17) соответственно, а характеристическое сопротивление находится по формуле (9.26).